閘函數

閘函數(barrier function)是用來界定區域邊界性狀的一種函數。設是上一點，如果中存在函數滿足條件：

1. 在中是上調和的；

2.在 中，

則稱是中調和運算元的正則點，稱為中調和運算元在點的閘函數。如果有界區域在點上滿足外部球條件，那麼函數

就是調和運算元在點的閘函數。

正則邊界點(regular boundary point)是一類邊界點。所謂正則邊界點，是指的一個開集ω的邊界點，使得以上每個具有緊支集的連續函數f為邊界值的廣義狄利克雷問題的解在的邊界值與 一致，這等價於(或 )在不瘦。當時，這等價於為( 或 )的2正則點(參見“α正則點”)，故可採用維納判別法(當時，用對數容量代替的類似判別法)。常用的充分必要判別法還有：

1. 在存在 閘函數，即存在的開鄰域N及內的上調和函數，使得

2. 對1.中的格林函數G，有

另外，當時，簡單實用的充分判別法是所謂龐加萊錐條件，即存在以為頂點的圓錐體在的某鄰域與不相交。

定理1設為區域的邊界，在上連續。如果點是一個正規邊界點，則函數

在點P處連續，並且其中為的上函數集。

定理2 設為區域的邊界，在上連續，如果上的每一個點都是正規邊界點，則Dirichlet問題

的解存在。

由定理2 可知，求解Dirichlet問題就轉化為當滿足什麼條件時，上的每一點都是正規邊界點。這裡給出一種簡單而常見的情況：如果在點處滿足外球條件，且外球的球心為，則

在內是調和函數，在上連續，且對有

稱滿足此條件的函數為在點P處的閘函數。