微分幾何

為了幫助讀者熟練地掌握微分幾何的內容和方法，書中配備了大量有趣的習題，並在《微分幾何學習指導》中給出了詳細的解答.

本書可用作綜合性大學、理工科大學、師範大學數學系高年級大學生的教科書，也可作為大學數學教師和研究人員的參考書.

微分幾何是一門歷史悠久的學科。近一個世紀以來，許多著名數學家如陳省身、丘成桐等都在這一研究方向上作出了極其重要的貢獻。這一學科的生命力至今還很旺盛，並滲透到各個科學研究領域.

古典微分幾何以數學分析為主要工具，研究空間中光滑曲線與光滑曲面的各種性質。本書第1章討論了曲線的曲率、撓率、Frenet公式、Bouquet公式等局部性質；證明了曲線論基本定理，也討論了曲線的整體性質：4頂點定理、Minkowski定理與Fenchel定理以及FaryMilnor關於紐結的全曲率不等式。第2章引進了第1基本形式、第2基本形式、Gauss（總）曲率、平均曲率、Weingarten映射、主曲率、曲率線、測地線等重要概念，給出了曲面的基本公式和基本方程、曲面論的基本定理，以及著名的Gauss絕妙定理等曲面的局部性質，還運用正交活動標架與外微分運算研究了第1、第2、第3基本形式，Weingarten映射以及第1、第2結構方程。第3章詳細論述了曲面的整體性質，得到了全臍超曲面定理、球面的剛性定理、極小曲面的Bernstein定理、著名的GaussBonnet公式及Poincarè指標定理.

前言

第1章 曲線論

1.1 Cr正則曲線、切向量、弧長參數

1.2 曲率、撓率

1.3 Frenet標架、Frenet公式

1.4 Bouquet公式、平面曲線相對曲率

1.5 曲線論的基本定理

1.6 曲率圓、漸縮線、漸伸線

1.7 曲線的整體性質（4頂點定理、Minkowski定理、Fenchel定理）

第2章 Rn中k維Cr曲面的局部性質

2.1 曲面的參數表示、切向量、法向量、切空間、法空間

2.2 旋轉面（懸鏈面、正圓柱面、正圓錐面）直紋面、可展曲面（柱面、錐面、切線面）

2.3 曲面的第1與第2基本形式

2.4 曲面的基本公式、Weigaten映射共軛曲線網、漸近曲線網

2.5 法曲率向量、測地曲率向量、Euler公式主曲率、曲率線

2.6 Gauss曲率(總曲充)、平均曲率H

2.7 常Gauss曲率的曲面)、極小曲面(H=0)

2.8 測地曲率、測地線、測地曲率的Liouville公式

2.9 曲面的其本方程、曲面論的基本定理、Gauss絕妙定理

2.10 Riemann流形、Levi-Civita聯絡向量場的平行移動、測地線

2.11 正交活動標架

第3章 曲面的整體性質

3.1 緊緻全臍超曲面、球面的剛性定理

3.2 極小曲面的Bernstein定理

3.3 Gauss-Bonnt公式

3.4 2維緊緻定向流形M的Poincarè切向量場指標定理

參考文獻