西羅定理
西羅定理
設p是一個質數；則可定義一個G的西羅p-子群（有時稱為p-西羅子群），其為G的最大p-子群（即一個其為p-群且不為其他G之p-子群的純子群之子群）。所有給定一質數p之西羅p-子群所組成之集合有時會寫成Sylp(G)。在一種或另一種意思下皆為最大之子群的集合在群論中並沒有不一樣。這裡很不可思議的為在Sylp(G)內的例子，每個元素都會實際地共軛於另一個元素；且此一性質可以被用來決定G的其他性質。
：設是以階為 的有限群，， 是素數，，對每個 ( )，中含有 階的子群，並且中每個 階的子群是某個 階子群的正規子群。
二：設是有限群的一個子群， 是的一個Sylow子群，則存在 屬於，使得包含於，特別地，的任意兩個Sylow 子群共軛。
：設是一個有限群，是一個素數，則的Sylow 子群的個數是的一個因子，且 。
考察中所有階子集，則 。
令左乘作用於，則對任意 有群 固定之，所以即 為 的陪集合，故所以 。由於任意軌道大於 均被 整除，所以所有的 軌道總數（其中為軌道數），由於此式對循環群也成立但循環群只有一個 階群，故有。因此，即存在 階群，定理一得證。
由於且故有 ，因此 的軌道為群 的所有陪集合，因此每個軌道對應不同的 階群，故定理三得證。
考察如上的任一Sylow 子群 的左陪集合，讓作用於它。由有不動點陪集存在，即 由此得，因此 ，定理二得證。
至於定理一後半部分，由關於的重陪集分解的陪集數為1的分解數等於，知 （為 的共軛固定群），又由Cauchy定理 存在 階群 ，即可得到 且 ，至此Sylow定理證畢。
引理：若只有一個Slyow-p子群那麼這個Sylow-p子群正規於
證明：設P是G的一個Sylow-p子群，則對於G內任意一個元素 g，仍是G的一個Sylow- p子群
而由Slyow定理，所有Sylow-p子群兩兩共軛
∴
∴ P正規於G
例1： 15階群一定是循環群
證明：設是一個群，且,則Slyow-3子群的個數 ，且 ，即 ∴，即G只有一個Sylow-3子群
∴這個Sylow-3子群是G的正規子群
同理：G只有一個Sylow-5子群，且這個Sylow-5子群是G的正規子群
又∵，而Sylow-3子群Sylow-5子群，|Sylow-3子群||Sylow-5子群|
∴其中為Sylow-3子群生成元，為Sylow-5子群生成元。（否則由，即 這會推出 與其不相交矛盾。）
∴由交換群的階相乘性質的階位15，故其循環。
例2：350階群不是單群
證明：∵
∴由Slyow定理：Slyow-5子群的個數，且，即
∴
∴由例①中的引理：G必然會有一個階為25的正規子群
∴350階群不可能為單群
基本信息
- 中文名
- 西羅定理
- 應用學科
- 數學
- 適用領域
- 代數
- 提出者
- Sylow