可逆矩陣

設是數域，，若存在，使得，為單位陣，則稱為可逆陣，為的逆矩陣，記為。若方陣的逆陣存在，則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣。

A是可逆矩陣的充分必要條件是︱A︱≠0（方陣A的行列式不等於0）。

給定一個 n 階方陣 A，則下面的敘述都是等價的：

A 是可逆的。

A 的行列式不為零。

A 的秩等於 n（A 滿秩）。

A 的轉置矩陣 A也是可逆的。

AA 也是可逆的。

存在一 n 階方陣 B 使得 AB = In。

存在一 n 階方陣 B 使得 BA = In。

又稱非奇異矩陣，亦即行列式不等於0的方陣。

^(-1)=(︱ ︱)^(-1) ﹡(方陣 的 行列式的倒數乘以 的 伴隨矩陣)。這個公式在矩陣A的 階數很低的時候（比如不超過4階）效率還是比較高的，但是對於階數非常高的矩陣，通常我們通過對2n*n階矩陣[A In]進行行 初等變換，變換成矩陣[In B],於是B就是A的逆矩陣。

（1）若為可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的。

（2）設、是數域上的階矩陣，。

①若可逆，則和也可逆，且，；

②若可逆，則可逆，且；

③、均可逆。

（1）判斷或證明可逆的常用方法：

①證明；

②找一個同階矩陣，驗證；

③證明的行向量（或列向量）線性無關。

（2）求的方法：

①公式法：，其中為矩陣的伴隨矩陣。

②初等變換法：對作初等變換，將化為單位陣，單位矩陣就化為。