數學與猜想

不但要學習論證推理，也要學習合情推理，以豐富人們的科學思想，提高辯證思維能力，《數學與猜想》(第1卷)的例子不僅涉及數學各學科，也涉及到物理學，全書內容豐富，談古論今，敘述生動，能使人看到數學中真正的奧妙。全書共分兩卷，第一卷為數學中的歸納和類比，第二卷為合情推理模式，此冊為第一卷，主要講述數學中各種合情推理的實例。《數學與猜想》(第1卷)可供大學數學系師生、中學數學教師，數學研究人員及數學愛好者閱讀。

作者：(美)G.波利亞 譯者：李心燦 王日爽 李志堯

波利亞，數學家、教育家，曾任美國國家科學院、美國藝術與科學學院院士，匈牙利科學院榮譽院士，倫敦數學會、瑞士數學會、美國工業數學與應用數學學會榮譽會員，法國巴黎科學院通訊院士。出生於匈牙利布達佩斯，1942年移居美國。獲布達佩斯Eotvos Lorand大學數學博士學位。著有《數學的發現》、《數學分析中的問題和定理》、《數學物理中的等周不等式》等。

~第一卷

譯者的話

序言

對讀者的提示

第一章 歸納方法

第一章的例題和註釋, l~~14.[12.是與非.13.經驗與行為.14.邏輯學家. 數學家. 物理學家和工程師.]

第二章 一般化. 特殊化. 類比

第二章的例題和註釋

第三章 立體幾何中的歸納推理

第三章的例題和註釋, l~~41.[21.歸納過程：思想的適應, 語言的適應.31.笛卡兒對多面體的研究工作.36.立體補角，互補球面多邊形.]

第四章 數論中的歸納方法

1.邊長為整數的直角三角形

2.平方和

3.關於四奇數平方和問題

4.考察一個例子

5, 把觀察結果列成表

6.有什麼規則

7.關於歸納發現未知事物的性質

8.關於歸納證據的性質

第四章的例題和註釋,1~~26.[1.符號表示法.26.歸納法的危險.]

第五章 歸納法雜例

l.函數的展開式

2.近似式

3.極限

4.設法推翻它

5.設法證明它

6.歸納階段的作用

第五章的例題和註釋, 1~~18.[15.解釋觀察到的規律性.16.把觀察到的事實進行分類.18.差別是什麼 ]

第六章 更一般性的陳述

1.歐拉

2.歐拉的研究報告

3.從實踐到抽象的一般觀點

4.歐拉研究報告的概述

第六章的例題和註釋,l~~25.[1.母函數.7.平面幾何的一個組合問題.10.平方和.19.另一個遞推公式.20.整數因子和的另一個奇特規律.24.歐拉怎樣遺漏一個發現.25.歐拉定理關於σn 的一種推廣.]

第七章 數學歸納法

1.歸納階段

2.論證階段

3.研究的飛躍

4.數學歸納法的技巧

第七章的例題和註釋, l~~18.[12.多證可能反而更省事.14.權衡你的定理.15.展望.17.任何n個數都相等嗎 ]

第八章 極大和極小

1.模式

2.例子

3.相切的等高線模式

4.兩個例子

5.局部變動的模式

6.算術平均與幾何平均的定理及其初步推論

第八章的例題和註釋, 1~~63, [ 第一部分, 1~~32, 第二部分,33~~63].[1.平面幾何中的最小和最大距離.2.空間幾何中的最小和最大距離.3.平面上的等高線.4.空間中的等值面.11.穿過尊等高線的原則.22.局部變動原則.23.極值的存在性.24.局部變動模式的一個變形：無限過程.25.局部變動模式的另一個變形：有限過程.26.用圖示比較.33.多邊形和多面體。面積和周長。體積和表面.34.具有正方形底的正稜柱.35.正圓柱.36.一般的正稜柱.37.具有正方形底的正對頂稜錐.38.正對頂錐.39.一般的正對頂稜錐.43.幾何應用於代數.45.代數應用於幾何.51.具有正方形底的正稜錐.52.正圓錐.53.一般的正稜錐.55.開蓋盒子.56.槽.57.片.62.郵政局問題.63.開普勒問題.]

第九章 物理數學

1.光學解釋

2.力學解釋

3.反覆解釋

4.吉恩·伯努利關於捷線的發現

5.阿基米德關於積分法的發現

第九章的例題和註釋,1~~38.[3.內接於已知三角形中具有最小周長的三角形.9.空間中四點交通中心.10.平面上四點交通中心.11.四點交通網.12.打開與拉直.13.彈子.14.地球物理勘查.23.多面體表面上的最短線.24.曲面上的最短線(測地線).26.摺紙法的一個設計.27.擲骰子.28.洪水.29.不像井那麼深.30.一種常用的極端情形.32.變分法.33.從截面平衡到立體平衡.38.阿基米德方法的回顧.]

第十章 等周問題

1.笛卡兒的歸納理由

2.潛在的理由

3.物理原因

4.瑞利的歸納理由

5.導出結論

6.證明結論

7.非常密切的關係

8.等周定理的三種形式

9.應用與問題

第十章的例題和註釋, 1~~43, [第一部分, 1~~15, 第二部分,16~~43].[1.回顧.2.你能用不同的方法推出某些部分的結果嗎 3.比較詳細地重新敘述.7.你能將此方法用於其他某些問題嗎 8.等周定理的更清晰的形式.16.桿和繩.21.兩根桿和兩條繩.25.立體幾何中的泰都問題.27.平面區域的等分錢.34.封閉曲面的等分線.40.具有許多完美性的圖形.41.一種類似的情形.42.正立體.43.歸納理由]

第十一章 更多種類的合情推理

1.猜一猜

2.根據有關情形判定

3.根據一般情形判定

4.提出一個比較簡單的猜想

5.背景

6.無窮盡的過程

7.常用的啟發性假設

第十一章的例題和註釋,1~~23.[16.一般情形.19.沒有主意是最不好的.20.一些常用的啟發性假設.21.樂觀的報酬.23.數值計算與工程師.]

后紀

問題的解答

參考文獻~