階梯函數

數學中，一個實數函數被稱為階段函數（或者階梯函數），則它可以被寫作：有限的間隔指標函數的線性組合。

In mathematics, a function on the real numbers is called a step function (or staircase function) if it can be written as a finite linear combination of indicator functions of intervals. Informally speaking, a step function is a piecewise constant function having only finitely many pieces.

定義在上的數值函數是階梯函數，是指對任意的，存在上的一個階台函數，使得對任意的，有。

於是說被一致地逼近，誤差為。這相當於說，所謂是階梯函數，是指是一致收斂的階台函數的序列的（一致）極限。

如果是階梯函數，則是有界的。實際上，從對任意的成立的，得

性質1：在上的階梯函數形成一矢量空間，這空間用來表示。

這個性質是明顯的。例如，從，，得還要指出，是的子空間。

性質2：如果是階梯函數，則也是階梯函數。

只須對做證明即可；這性質來自

結果是，對兩個（或有限多個）階梯函數，，函數，也是階梯函數。

性質3：如果是正階梯函數或零，則存在一個正階台函數或；零的序列，一致收斂到。

首先提出，如果對任意的；又如果收斂到，則。這是因為對一切，且。

從上面性質2得到，如果一致收斂到，則同時有也一致收斂到。可是對一切數值函數有，由此對使用加法有

於是一致收斂到。特別地，如果，則且是一致收斂到的正階台函數的序列。