抽象群

抽象群

抽象群概念由法國天才數學家伽羅華(Eacute;variste Galois,1811-1832)最先建立起來。群的定義有多種等價的表達形式,以這一種最為基本。

基本概念


一個集G,如果它不是空集,而且滿足以下四個條件,就叫做群:
① G中有一個閉合的結合法。這就是說,G中任意兩元a,b的結合c仍然是G中元。結合法通常寫成乘法,這時c又叫做a,b的積。一般用記號ab=c或a·b=c表示。要注意,積ab雖然是由a,b唯一決定的,但一般它還與a,b的順序有關。即ab不一定等於ba。
② G的結合法滿足結合律。也就是說,對於G中任意三元a,b,c,有(ab)c=a(bc)。
③ G中有一個(左)單位元e,對G中任意元a,有ea=a。事實上由於可以證明群的左單位元也是右單位元,因而一般把e就叫做單位元。
④ 對於G中任意元a,在G中有一個滿足a^(-1)a=e的(左逆元)a^(-1),此處e就是上面的(左)單位元。實際上,可以證明,在群中,a的左逆元也是右逆元。因此,一般把a^(-1)就叫a的逆元。

例題說明


例題:設非空集合Z3表示這個數除以3后的餘數,a◎b表示a+b除以3的餘數,證明(Z3,◎)是一個群。
解:只要滿足I~IV這4個條件即可。
Z3中只有3個元素:0,1,2
先列出乘法表:
◎ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
I:根據乘法表可以看出◎是一個二元運算。
II:根據乘法表得出0是運算◎的單位元。
III:根據乘法表得出0的逆元是0,1的逆元是2,2的逆元是1。
IV:容易證明(a◎b)◎c=a◎(b◎c)
所以(Z3,◎)是一個群
練習
設非空集合K3表示這個數除以3后的小數部分的第一位,a◎b表示a+b除以3后的小數部分的第一位,證明(K3,◎)是一個群。

概念附註


①現代意義上的抽象群概念由法國天才數學家 伽羅華(Eacute;variste Galois,1811-1832)最先建立起來。②群的定義有多種等價的表達形式,以這一種最為基本。
③一個非空集,若只滿足上面的條件①,則稱為乘集;若滿足條件①②,則稱為 半群,這也是一個重要概念。
④若群的結合法還滿足交換律:ab=ba,則稱為 交換群或 阿貝耳(N.H.Abel,1802-1829)群。
⑤由一個元組成的群叫 單位元群,元數是有窮的群叫 有窮群,否則叫 無窮群。群的元數記作|G|。