廖山濤

徠1935-1937年（冬）在長沙高級中學讀書。

1938-1941年在西南聯合大學肄業。

1950-1952年在美國芝加哥大學陳省身教授指導下獲博士學位。

1942-1945年任明德學堂教師。

1946-1947年任北京大學數學系助教。

1948-1950年任中央研究院數學所助理研究員。

1953-1955年在美國普林斯頓高等研究所作博士后。

1956年任北京大學數學系教授。

父親廖子豪。

母親曾平。

撫育了三個兒子。

1942年與汪鴻儀結婚。

1997年6月6日逝世。

學術成就

微分動力系統

在微分動力系統領域形成獨特的研究體系

廖山濤在學術上最突出的成就是在微分動力系統領域。1986年7月2日美國《金山時報》以《第三世界科學院與數學獎》為題刊登的一則通訊曾這樣介紹了他的工作：

“……1959年時，他偶然中從一篇介紹國外‘微分動力系統’的文章，預料到這門學科將會有極大的應用價值。當時，他在資料極其缺乏的情況下，憑著他在美國7年留學所得的知識展開了研究工作。20多年來，他先後在《數學學報》等刊物上發表了幾十篇論文，提出了兩個基本概念，即‘典範方程組’與‘阻礙集’，並以此為核心，形成自己獨特的研究體系，從而奠定了他在這門學科中的重要地位。……”

這段通訊寫得十分中肯，深得個中三昧。尤其是關於“獨特的研究體系”的評論，精鍊地概括了廖山濤在微分動力系統領域的工作。

微分動力系統是一門有關係統演化規律的數學學科，著重於整體性和大範圍的研究，主要研究的是當系統有某種擾動時，有哪些不變性質，以及其反面，有哪些突變性質。不變性質即各種所謂“穩定性”，突變性質即所謂“分支”直至瞬息萬變的“湍流”。這與力學、物理、工程、生物乃至經濟都有重要的聯繫。微分動力系統的現代研究興起於本世紀60年代初。揭開序幕的是巴西數學家M．裴雪托（Peixoto）在蘇聯數學家30年代的工作的基礎上所做的二維常微系統結構穩定性的研究。這一重要工作引起了科學界的高度重視，人們意識到一個新的研究領域正在出現。不久人們也認識到，裴雪托在二維情形的工作在結論和方法兩個方面都還不能適用於高維情形，因而需要數學家進行大量的探索。世界上許多優秀數學家，特別是著名數學大師S.斯梅爾（Smale），開始把主要力量投入到這一領域的研究。與此同時，在世界的東方，廖山濤在資料極其缺乏的條件下也開始了他在這一領域的探索和開拓。

部分的是由於資料的缺乏，更主要的是由於治學的思想和觀點，廖山濤所採取的研究路線和方法與西方學派相比，有很大程度的不同。北京大學在職研究生知道，微分動力系統大致可分為常微系統與離散系統兩大類。常微系統的“時間”是連續的，而離散系統的“時間”是離散的。二者在理論上的發展大體平行，許多重要結果也相一致。但二者也有一些重要的區別。比如在常微系統中引起多方面困難的奇點問題，在離散系統中並不存在。正如著名數學家J.福蘭克斯（Franks）說過的：常微系統要比離散系統更複雜、更困難一些，因而定理通常首先在離散系統中被證明，而反例通常首先在常微系統中被發現。西方學派多從離散系統入手，取得突破，再向常微系統推廣。這種研究方式形成了實力深厚的學派，取得了巨大的成就。不過從學科發展的需要來看，這畢竟不能完全替代對常微系統的直接研究方式。

廖山濤對微分動力系統的研究，採取的是對常微系統直接接觸的方式。這一點從一開始就決定了他的工作的複雜與困難的程度。與此相適應，他相繼從根本上提出了兩個基本概念，即“典範方程組”和“阻礙集”，並以此為核心，形成獨特的研究體系，與西方學派相輝映，為微分動力系統這一學科做出了重大的貢獻。

典範方程組的方法是把流形上常微系統的相圖的一部分性質循適當途徑化成歐氏空間中通常的常微分方程組來討論。這是通過活動標架來實現的。這一方法有計算和定量估計上的特有的方便。比如著名的C1封閉引理，起初只斷言一段兩端非常靠近的軌弧可經適當C1擾動變成周期軌道。而廖山濤則不僅證明了這一可能性，而且證明可使這一周期軌道與原軌弧某一端的距離不大於原軌弧兩端距離的某個常數倍，而這常數不依賴於原軌弧。因此廖山濤所證明的是一個更強的、也許可稱之為“有控C1封閉引理”的結果。這基本上就是後來在國外文獻中極重要的“遍歷C1封閉引理”。用典範方程組還較便於處理常微系統由於奇點的存在對整體相空間分析所帶來的多方面困難。一個重要例子是廖山濤所證明的一類重要系統的收縮周期軌道的個數在擾動中的一致有限性。

阻礙集粗略地說是切叢上斯梅爾條件的破壞在流形上的集中表現之處。因此阻礙集與斯梅爾條件有密切的聯繫。但阻礙集的內涵比斯梅爾條件要多。這是因為，若阻礙集不是空集，則可引出所謂極小歧變集這一至關重要的研究對象。廖山濤深入研究了極小歧變集的構造。這一套方法之強有力的一個重要例子，是廖山濤1981年的關於用擾動中系統的周期軌道的個數來刻劃3維無奇點系統的Ω穩定性的深刻結果。這一結果與當前大家普遍關注的渾沌問題有關，但用其他方法至今看不出有什麼辦法可以得到。另一重要例子是著名的穩定性猜測。這差不多是微分動力系統幾十年來最重要最困難的問題。正如著名數學家M．舒布（Shub）所說：“這一中心問題確確實實是中心的。”廖山濤運用他的阻礙集理論，為這一中心問題的最終解決奠定了雄厚的基礎。他先後給出了3維和4維無奇點常微系統穩定的特徵性質定理，以及高維常微系統穩定性猜測的部分驗證。這些都是應用阻礙集的方法得到的。但這裡值得更加註意的或許是阻礙集理論本身。

確實，廖山濤對微分動力系統的貢獻，不只是具體的結果，而尤其是他提供的理論和方法。其內容寬廣而深刻，包含著許多創造性的數學思想。有趣的是，雖然廖山濤的工作結果和我國當時許多科學著作一樣，主要是用中文發表的，但一些後來在世界上有很大發展的理論和方法，卻可在廖山濤的工作中找到思想的產生之處。比如廖山濤在他1963年關於微分動力系統遍歷性的早期工作中，研究了一種積分，後來看出，這就是後來在國外被稱作李雅普諾夫特徵指數的重要概念。美國著名數學家G.塞爾（Sell）推崇廖山濤的工作是研究特徵指數的先驅。又如廖山濤早在1963年就表達了一種觀點，即涉及結構穩定性問題的研究，可能有一部分是拓撲式的，另一部分是統計式的。在他後來關於穩定性猜測的基本工作中，拓撲式的微分動力系統與統計式的遍歷論巧妙地結合在一起，成為成功的關鍵。從那以後，微分動力系統與遍歷論的普遍溶合和交織，漸漸成為國外離散系統穩定性猜測研究的基本格局。

廖山濤的工作的價值還不僅限於數學本身。我國著名科學家錢學森曾在各種場合充分肯定了廖山濤關於結構穩定性的工作，指出它屬於系統科學的一部分。實際上，這也就是後來人們把微分動力系統定性為有關係統演化規律的數學學科這一看法的來源。

代數拓撲學

在代數拓撲學中的研究工作

我們扼要介紹廖山濤在代數拓撲學中所作的一些主要研究工作。

1．局部同調群是代數拓撲中一個基本的研究工具。廖山濤推廣了S.萊夫謝茨（Lefschetz）和R.L.懷爾德（Wilder）對空間子集的局部同調群的運用，引進了新的局部群以及局部上積和卡積，並利用這些新概念統一了流形上經典的H．龐加萊（Poinacare）對偶定理、J.W.亞歷山大（Alexander）對偶定理，以及帶正則邊界的流形上的萊夫謝茨式的對偶定理。另外，他還利用卡積所定義的同構關係引進和研究了所謂慕流形空間，導出了所在空間為一閉曲面的充分條件。

2．30年代，P.A.史密斯（Smith）建立了周期變換的特異同調論，一時成為研究周期變換僅有的方法。廖山濤首次找到這領域內的別的途徑，提出環的概念，建立了空間X的特異同調群的乘法結構和在X上的周期變換T的不動點集F之間的部分聯繫，並證明了下面新穎的結論：①當X是一緊流形且周期為素數時，F至少包含兩個點；②當X是一個n維球以及F同調於2維球時，F是一個2維球；③當X是4維歐氏空間時，F不是空集。

這后一結果乃是對有名的史密斯問題所作的肯定解答。

3．在纖維叢理論中截面的存在性是引人注目的一個幾何問題。解決這類問題通常可歸結於有關阻礙類的計算，而這種計算又顯得相當複雜。廖山濤對第一層的阻礙類作了適當清理之後，進而運用他自己的“對稱化”方法，處理了更為複雜的第二層的阻礙類計算問題。他對球叢的第二層阻礙類證明了兩個漂亮的計算公式，從而證明了陳省身和E．H．斯帕尼爾（Spanier）所提的一個猜測。

4．歷史上許多著名的幾何學家都曾涉足於拓撲實現問題，即是否可用拓撲變換把一個拓撲空間X映射到另一個拓撲空間Y中？特別重要的是當Y為一歐氏空間Em的情形。例如，陳省身曾證明：一個n維的射影球Pn，當n≠2K-1和n≠2K-2（K≥2）時不能通過微分同胚在En+2中實現。對這裡的兩個例外情形，一般的方法已無能為力。廖山濤用獨特的方法解決了其中一個例外的情形，即證明了當n=2K—2（K≥3）時，Pn也不能通過微分同胚在En+2中實現。事實上，他還進一步作出了實質的發現：當一個可定向的緊微分流形Mn+2的第1維和第2維法2係數同調群都等於零時，Pn就不能通過微分同胚在Mn+2中實現。

治學態度

治學態度——對自己從難從嚴

在教學上廖山濤主張啟髮式和獨立思考，以高標準要求自己，也要求學生。他開設的專門化課程，內容豐富，陳述嚴謹，基礎訓練紮實，同時也反映了學科的最新動態。曾有人說過，對廖先生的講課筆記只需稍作整理就是一本可以出版的佳作。他在教學園地中的辛勤勞動培養了一批具有深厚數學根基的在職研究生，他們在動力系統等研究領域內嶄露頭角。

廖山濤非常強調首創性對數學研究的重要意義，同時也十分關心實際應用對理論發展的推動作用。例如，他曾對熱核反應中的托馬克裝置發生過濃厚的興趣，並試圖用常微系統為它建立一個穩定的控制模型。另外，他也希望把力學中的湍流現象作為自己理論研究的一個目標。

廖山濤沉靜溫和，平易近人，熱情鼓勵和幫助年青人。在討論數學問題時總是專心聽取大家的意見，思考問題的癥結，最後常能一語中的，使人豁然開朗。他不但留心自己的科研，也非常關心相鄰科研方向的發展。他曾對北京大學常微分方程的科研規劃提出富有遠見的建議，並對新課程的設置和講授親自進行指導。廖山濤主張積極的國際學術交流，提倡學習國外先進的東西，但也常與友人和學生談到，我們中國人有傑出的天賦，在科學技術的研究領域中可以和西洋人進行毫不遜色的角逐。因此，他很鄙視那些妄自菲薄和忘記民族自尊心的思想行為。

廖山濤胸懷坦誠，實事求是，從不誇耀自己的成就，十分淡泊個人的名譽和地位，始終保持著謙讓的美德。“一杯清水深知足，默默無言散異香。”這是他書房中一則友人所贈的詠水仙的條幅中的最後兩句，我們願藉此來結束這篇傳記。