收斂速度
收斂速度
在數值分析中, 一個收斂序列向其極限逼近的速度稱為收斂速度(Rate of convergence). 該概念多用於最優化演演算法中; 其被定義為一個迭代序列向其局部最優值逼近 (假設計算過程收斂, 並能達到最優值) 的速度, 是評價一個迭代法於該問題中發揮的性能的一個重要指針.
收斂速度以收斂階衡量, 亦可以收斂因子描述; 依計算方法的不同, 有下述兩種收斂階及收斂階.
一、商收斂因子 的定義式如下:
商收斂因子也稱Q—因子, 商收斂階也稱Q—收斂階. 利用商收斂因子, 對收斂速度進行描述的方式如下:
1、如果 , 則稱 是 Q—超線性收斂於 ; 如果 , 則稱 是 Q—線性收斂於; 如果 則稱 是 Q—次線性收斂於 .
2、如果 , 則稱 是 Q—超平方收斂於 ; 如果 , 則稱 是 Q—平方收斂於 ; 如果 , 則稱 是 Q—次平方收斂於 .
注意: Q—線性收斂與Q—平方收斂, 以及Q—次線性收斂與Q—次平方收斂的評判標準有些微差別. “Q—平方收斂”也稱為“Q—二次收斂”.
依照Q—平方收斂 (不是Q—線性收斂) 的定義, 可以定義Q—立方收斂 (將 改為）, Q—四次方收斂等更高Q—收斂階.
二、商收斂階 的定義式如下:
對比商收斂因子的描述, 商收斂階是指求出一個數(不一定是整數), 使得對於, 點列都是Q—次次方收於, 且對於都是Q— 次方收斂. 而這個數就是點列的商收斂階.
一、根收斂因子 的定義式如下:
根收斂因子也稱R—因子, 根收斂階也稱R—收斂階. 利用根收斂因子, 對收斂速度進行描述的方式如下:
1、如果 則稱 是 R—超線性收斂於 ; 如果 , 則稱 是 R—線性收斂於 ; 如果 , 則稱 是 R—次線性收斂於 .
2、如果 , 則稱 是 R—超平方收斂於 ; 如果 , 則稱 是 R—平方收斂於 ; 如果 , 則稱 是 R—次平方收斂於.
注意: R—次線性收斂與R—次平方收斂的評判標準有些微差別. “R—平方收斂”也稱為“R—二次收斂”.
依照R—平方收斂 (不是R—線性收斂) 的定義, 可以定義R—立方收斂 (將 改為 ), R—四次方收斂等更高R—收斂階.
二、根收斂階 的定義式如下:
對比根收斂因子的描述, 根收斂階是指求出一個數 (不一定是整數), 使得對於 , 點列 都是R—次 次方收於, 且對於 都是R— 次方收斂. 而這個數 就是點列的根收斂階.
對於一個收斂點列而言, 其Q—收斂階不大於其R—收斂階, 即
有時, 一個數列的R—收斂階可能很高, 但其Q—收斂階可能很低. 當然可以證明, 一個R—收斂階高的點列至少比某些Q—收斂低的點列收斂得更快.
有如下向量列:
據上作出計算如下,
故數列為Q線性收斂; Q收斂階為1;
故數列為R線性收斂; R收斂階為1.
此說明牛頓法的迭代點列是Q平方收斂; 另言之, 牛頓法的收斂速度是二次的.