N人博弈中的均衡點

N人博弈的均衡點

約翰·F·納什

可以這樣定義n人博弈（n-persongame），n個參與人（player），每個參與人的純策略（purestrategy）集為有限集，對於每個純策略的n元組合，n個參與人具有與之對應的明確的支付集，純策略的n元組合中，一個策略對應一個參與人。混合策略（mixedstrategy）是純策略上的概率分佈，支付函數（pay-offfunction）是參與人的期望，因此在概率上是多元線性形式的，表示各個參與人採用各個純策略的概率。

任意的策略n元組合（n-tupleofstrategies），一個策略對應一個參與人，可以看作是由參與人的n個策略空間相乘得到的乘積空間（productspace）中的一點。一個這樣的n元組合優超（counter）另一個，如果優超的n元組合中的每個參與人的策略，使得該參與人產生最高可得期望。這是因為給定的優超n元組合中任一參與人都會對抗其他參與人的n-1個策略。自我優超(self-countering)的策略n元組合稱為均衡點。

每個n元組合與其優超集的對應，都給出了乘積空間到其本身的一個一對多的映射（aone-to-manymapping）。從優超的定義，我們看到一點的優超點的集合是凸的（convex）。利用支付函數的連續性，我們得到該映射的圖是閉的。閉性等價於：如果P1，P2，···和Q1，Q2，···，Qn，···是乘積空間中的點列，並且Qn→Q,Pn→P,Qn優超Pn，那麼Q優超P。

因為圖是閉的，並且每個點在映射下的對應是凸的，由角谷不動點定理（Kakutani`stheorem）我們得到該映射存在不動點（即該點包含在它自已的對應中）。因此，存在均衡點。

在二人零和博弈中，“主要定理”和均衡點的存在性是等價的。在這種情況下，任意兩個均衡點對每個參與人導致相同的期望，但是一般情況下並不成立。