微分運算元

在數學中，微分運算元是定義為微分運算之函數的運算元。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函數得到另一個函數（以計算機科學中高階函數的方式）。

當然有理由不單限制於線性運算元；例如施瓦茨導數是一個熟知的非線性運算元。不過這裡只考慮線性的情形。

，這裡關於哪個變數微分是清楚的，以及 這裡指明了變數。類似的，……

微分是線性的，即

這裡 f 和 g 是函數，而 a 是一個常數。

任何以函數為係數之 D 的多項式也是一個微分運算元。我們也可以通過法則

複合微分運算元。需要一些注意：首先運算元 中的任何函數係數必須具有 所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環，我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二，這個環不是交換的：一個運算元 gD 一般與 Dg 不同。事實上我們有例，如在量子力學中的基本關係：但這些運算元的子環：D 的常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫：它由平移不變運算元組成。

微分運算元也服從移位定理（shift theorem），即