三次樣條插值

早期工程師製圖時，把富有彈性的細長木條（所謂樣條）用壓鐵固定在樣點上，在其他地方讓它自由彎曲，然後沿木條畫下曲線。成為樣條曲線

三次樣條函數:

定義：函數 ，且在每個小區間上是三次多項式，其中

是給定節點，則稱S(x)是節點上的三次樣條函數。

若在節點x j 上給定函數值.( j =0, 1, , n) ，並成立

，則稱S(x)為三次樣條插值函數。

實際計算時還需要引入邊界條件才能完成計算。邊界通常有自然邊界（邊界點的二階導為0），夾持邊界（邊界點導數給定），非扭結邊界（使兩端點的三階導與這兩端點的鄰近點的三階導相等）。

一種常用的樣條插值設[a，b]上的插值節點構成[a，b]的一個分划，f(x)於各節點的值是。三次樣條插值問題是求[a，b]上關於分划Δ的三次樣條函數s(x)。根據s(x)應滿足的兩個條件於，有其中hi=xi+1-xi(i=0，1，…，n-1)，為待定參數。，，…，Mn滿足線性方程組

方程組(2)是含有n+1個未知數)的由n-1個方程組成的線性方程組，不能定解。為此尚需補充兩個條件。一般，在插值區間兩個端點各補充一個條件，通常稱為端點條件。最常用的端點條件有三種類型：

1、， 。

2、，。

3、。

用Mi表示，這三種條件依次為：見右圖。

1、將方程組(2)與三種端點條件的任何一種聯合，解關於，，…，Mn的線性方程組。

2、將代入方程組(1)就得到s(x)關於各子區間的表達式。

特別指出，若第2種端點條件取為

，

據此得到的樣條插值函數稱為自然樣條，它在理論上，計算實踐上都是很重要的.上面求解三次樣條插值的方法稱為三彎矩法，是三次樣條插值解算方法中最常用的一種。

在工程上，構造三次樣條插值函數通常有兩種方法：一是以給定插值結點處得二階導數值作為未知數來求解，而工程上稱二階導數為彎矩，因此，這種方法成為三彎矩插值。二是以給定插值結點處得一階導數作為未知數來求解，而一階導數又稱為斜率，因此，這種方法稱為三斜率插值。