自伴運算元
自伴運算元
在數學里，作用於一個有限維的內積空間，一個自伴運算元(self-adjoint operator)等於自己的伴隨運算元；等價地說，表達自伴運算元的矩陣是埃爾米特矩陣。埃爾米特矩陣等於自己的共軛轉置。根據有限維的譜定理，必定存在著一個正交歸一基，可以表達自伴運算元為一個實值的對角矩陣。
目錄
定義：設是Hilbert空間上的稠定線性運算元，如果 ，則稱為對稱運算元；如果，則稱為自伴運算元。
例子：設H為上的平方可積函數空間，即，在上定義運算元如下：
在絕對連續，
則。定義運算元
顯然有。下面來證明
根據這個結果可知，故是對稱運算元， 是對稱運算元的自伴擴張，但作為擴張的 滿足 ，從而並非對稱的。
下面證明。注意到，，其中有
因此，，即 。
其次，設 ，，，對於，有
即當或時，因包含非零常數，故由上式可得。當時，。這樣，總有因而
當時，因，故。又因，故。這樣，，即。
對，當時，，故而
因而，是由常值函數組成的一維子空間。這樣，
當時，因，故，即，所以，即。
當時，由得是絕對連續函數，，從而，這樣 。證畢。