賦值環

賦值環(valuation ring)是一種特殊的局部環。也是重要的交換環類。交換環R稱為賦值環，是指它滿足以下等價條件之一：

1.對任意，恆有或，換言之，必有a整除b或b整除a。

2.R的所有理想(對於包含關係)組成線性序集。

3.R是局部環且任意有限生成理想是主理想。滿足條件3的環也稱為貝祖特環。

賦值環是交換的特殊序列。它與戴德金環有密切的關係。事實上，交換諾特局部整環是賦值環當且僅當它是戴德金環。賦值環上的模具有良好的分解性質，馬特利斯(Matlis，E.)於1957年證明：賦值環R上任意有限生成模M的內射包E(M)是有限個不可分解內射模的直和，或等價於M有有限哥爾迪維數。賦值環R上任意有限表示模是循環表示模的直和，從而推廣了卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)的工作。

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何，都有，，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

它和半局部環分別是完全准素環和半准素環概念的推廣。環中，若不可逆元(即非單位)集A對於加法是封閉的，則R稱為局部環。以下性質是等價的：

1.R是局部環。

2.R中不可逆元的集A是(雙邊)理想。

3.A是極大左(右)理想。

4.對於任意，r或必是左(右)可逆元。

5.R的雅各布森根J(R)是極大左(右)理想。

6.是除環。

7.(x稱為非生成子)。

若R/R(J)是半單的，則稱R是半局部的。局部環的概念對於模的分解性質十分重要。對於任意R模M，若M的自同態環End(M)是局部的，則M是不可分解的。反之，若M是不可分解且是內射的，則End(M)是局部環。東屋五郎(Azumaya，G.)曾利用局部環的概念，把古典的克魯爾-銳瑪克-施密特定理推廣為項數可以是無窮的情形。局部環也具有特殊的同調性質。卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)於1958年證明：對於局部環R，任意R投射模是R自由的。

抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：

1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為(R，+)；

2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半群，稱為R的乘法半群；

3.乘法對加法的左、右分配律成立，即 (左分配律)，(右分配律)；

則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。

20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念后，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。

另一方面，由群表示研究的影響，產生模、群環與分次環的理論。20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了群代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代后，由於分次代數的推動，群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及群表示論的推動，環論已進入一個新的階段。

理想可以惟一素分解的環。最重要的例子是：數域的整數環、光滑曲線的坐標環。按定義，滿足下述三條件的整環R稱為戴德金環：

1.R是諾特環。

2.R的真素理想均為極大理想。

3.R在其商域中是整閉的。

事實上，對每個戴德金環R及其商域F，總存在F的離散素除子集S使{F，S}為普通算術域而R為S整數環。整環為戴德金環當且僅當其每個真理想均為極大理想的積；也等價於其每個分式理想均可逆，即分式理想全體構成群。戴德金環R在其商域F的有限可分擴張E中的整閉包R也為戴德金環，且E是R的商域。