十字相乘法

因式分解方法

十字相乘法是因式分解中12種方法之一,另外十一種分別都是:1分組分解法 2.拆添項法 3.配方法 4.因式定理(公式法)5.換元法 6.主元法 7.特殊值法8.待定係數法 9.雙十字相乘法 10.二次多項式11.提公因式法

十字分解法的方法簡單來講就是:十字左邊相乘等於二次項係數,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項係數。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

十字分解法能用於二次三項式(一元二次式)的分解因式(不一定是整數範圍內)。對於像ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)這樣的整式來說,這個方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a1,a2的積,把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積,並使a1c2+a2c1正好等於一次項的係數b。那麼可以直接寫成結果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在運用這種方法分解因式時,要注意觀察,嘗試,並體會,它的實質是二項式乘法的逆過程。當首項係數不是1時,往往需要多次試驗,務必注意各項係數的符號。基本式子:x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

原理


一個集合中的個體,只有2個不同的取值,部分個體取值為A,剩餘部分取值為B。平均值為C。求取值為A的個體與取值為B的個體的比例。假設總量為S, A所佔的數量為M,B為S-M。
則:[A*M+B*(S-M)]/S=C
A*M/S+B*(S-M)/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此:M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的計算過程可以抽象為:
A ^C-B
^C
B^ A-C
這就是所謂的十字分解法。X增加,平均數C向A偏,A-C(每個A給B的值)變小,C-B(每個B獲得的值)變大,兩者如上相除=每個B得到幾個A給的值。

判定


對於形如ax²+bx+c的多項式,在判定它能否使用十字分解法分解因式時,可以使用Δ=b²-4ac進行判定。當Δ為完全平方數時,可以在整數範圍對該多項式進行十字相乘。

運算舉例


a²+a-42
首先,我們看看第一個數,是a²,代表是兩個a相乘得到的,則推斷出(a + ?)×(a -?),
然後我們再看第二項,+a 這種式子是經過合併同類項以後得到的結果,所以推斷出是兩項式×兩項式。
再看最後一項是-42 ,(-42)是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成 -21×2 或者21×(-2)。
首先,21和2無論正負,通過任意加減后都不可能是1,只可能是7或者6,所以排除後者。
然後,再確定是-7×6還是7×(-6)。
﹣7﹢6=﹣1,7﹣6=1,因為一次項係數為1,所以確定是7×﹣6。
所以a²+a-42就被分解成為(a+7)×(a-6),這就是通俗的十字分解法分解因式。
具體應用
雙十字分解法是一種因式分解方法。對於型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多項式的因式分解,常採用的方法是待定係數法。這種方法運算過程較繁。對於這問題,若採用“雙十字分解法”(主元法),就能很容易將此類型的多項式分解因式。
例:3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因為3=1×3,-2=2×(-1),-4=(-1)×4,
而1×(-1)+3×2=5,2×4+(-1)(-1)=9,1×4+3×(-1)=1
要訣:把缺少的一項當作係數為0,0乘任何數得0,
例:ab+b²+a-b-2
=0×1×a²+ab+b²+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
提示:設x²=y,用拆項法把cx²拆成mx²與ny之和。
例:2x^4+13x^3+20x²+11x+2
=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x²+3x+1)(x²+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x²+5x+2)
分解二次三項式時,我們常用十字分解法.對於某些二元二次六項式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f),我們也可以用十字分解法分解因式。
例如,分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3.我們將上式按x降冪排列,並把y當作常數,於是上式可變形為
2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3),
可以看作是關於x的二次三項式.
對於常數項而言,它是關於y的二次三項式,也可以用十字分解法,分解為
-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字分解法對關於x的二次三項式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2;
(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3.
這就是所謂的雙十字分解法.也是俗稱的“主元法”
用雙十字分解法對多項式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f進行因式分解的步驟是:
⑴用十字分解法分解ax²+bxy+cy²,得到一個十字相乘圖(有兩列);
⑵把常數項f分解成兩個因式填在第三列上,要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey,第一列、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx.
我們把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關於x的一元多項式,並用f(x),g(x),…等記號表示,如
f(x)=x²-3x+2,g(x)=x^5+x²+6,…,
當x=a時,多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)
f⑴=12-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根.
定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根,即f(a)=0成立,則多項式f(x)至少有一個因式x-a.
根據因式定理,找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根.對於任意多項式f(x),要求出它的根是沒有一般方法的,然而當多項式f(x)的係數都是整數時,即整係數多項式時,經常用下面的定理來判定它是否有有理根。

分解因式


例1、因式分解。
x²-x-56
分析:因為7x + (-8x) =-x
解:原式=(x+7)(x-8)
例2、因式分解。
x²-10x+16
分析:因為-2x+(-8x)=-10x
解:原式=(x-2)(x-8)
例3、因式分解。
6y²+19y+15
分析:該題雖然二次項係數不為1,但也可以用十字分解法進行因式分解。
因為
9y + 10y=19y
解:原式=(2y+3)(3y+5)
例4、因式分解。
14x²+3x-27
分析:因為
21x + (-18x)=3x
解:原式=(2x+3)(7x-9)
例5、因式分解。
10(x+2)²-29(x+2)+10
分析:該題可以將(x+2)看作一個整體來進行因式分解。
因為
-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)
解:原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
例6、因式分解。
分析:該題可以先將()看作一個整體進行十字分解法分解,接著再套用一次十字相乘。
因為
-2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +(-4a)=-a
解:原式=[-2][ -12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

例題解析


例1

把2x²-7x+3分解因式.
分析:先分解二次項係數,分別寫在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數項,分
別寫在十字交叉線的右上角和右下角,然後交叉相乘,求代數和,使其等於一次項係數.
分解二次項係數(只取正因數 因為取負因數的結果與正因數結果相同!):
2=1×2=2×1;
分解常數項:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況:
1 3
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 1
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 -1
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
經過觀察,第四種情況是正確的,這是因為交叉相乘后,兩項代數和恰等於一次項係數-7。

例2

解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地,對於二次三項式ax²+bx+c(a≠0),如果二次項係數a可以分解成兩個因數之積,即a=a1a2,常數項c可以分解成兩個因數之積,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1 c1
a2 c2
a1c2 + a2c1
按斜線交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等於二次三項式ax²+bx+c的一次項係數b,即a1c2+a2c1=b,那麼二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積,即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
像這種藉助畫十字交叉線分解係數,從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法,通常叫做十字分解法.

例3

把5x²+6xy-8y²分解因式.
分析:這個多項式可以看作是關於x的二次三項式,把-8y²看作常數項,在分解二次項及常數項係數時,只需分解5與-8,用十字交叉線分解后,經過觀察,選取合適的一組,即
1 2
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解為兩個關於x,y的一次式。

例4

把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式,只有先進行多項式的乘法運算,把變形后的多項式再因式分解。
問:以上乘積的因式是什麼特點,用什麼方法進行多項式的乘法運算最簡便?
答:第二個因式中的前兩項如果提出公因式2,就變為2(x-y),它是第一個因式的二倍,然後把(x-y)看作一個整體進行乘法運算,可把原多項式變形為關於(x-y)的二次三項式,就可以用十字分解法分解因式了。
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1 -2
2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:將元x、y換成(x+y),以(x+y)為元,這就是“換元法”。

重難點


難點:靈活運用十字分解法分解因式。因為並不是所有二次多項式都可以用十字相乘法分解因式。
重點:正確地運用十字分解法把某些二次項係數不是1的二次三項式分解因式。

注意事項


第一點:用來解決兩者之間的比例問題。
第二點:得出的比例關係是基數的比例關係。
第三點:總均值放中央,對角線上,大數減小數,結果放在對角線上。