因式

數理科學概念

多項式被另一多項式整除，後者即是前者的因式，如果多項式f(x)能夠被整式g(x)整除，即可以找出一個多項式q(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那麼g(x)就叫做f(x)的一個因式。當然，這時q(x)也是f(x)的一個因式，並且q(x)、g(x)的次數都不會大於f(x)的次數。

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1定義 2方法

定義

把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫做分解因式，又叫做因式分解。

因式

可以直接計算，或運用公式。

常用的公式有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).

註：通常情況下，分解因式要求分解徹底，即所有因式均無法再次分解因式。

方法

⑴提公因式法

①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。

②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.。

am+bm+cm=m（a+b+c）

③具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的.如果多項式的第一項是負的，一般要提出“－”號，使括弧內的第一項的係數是正的.

⑵公式法

①平方差公式：.a^2－b^2=(a+b)(a－b)

②完全平方公式：a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

③立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)。

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。

④完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

⑶分組分解法

分組分解法：把一個多項式分組后，再進行分解因式的方法。

分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或運用公式。

⑷拆項、補項法

拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形。

⑸十字相乘法

①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼

kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

a\-----/bac=kbd=n

c/-----\dad+bc=m

※多項式因式分解的一般步驟：

①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；

②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；

④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

⑹應用因式定理

如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式。

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