可逆線性變換

一種特殊的線性變換

可逆線性變換(invertible linear transformation)亦稱非退化線性變換,或滿秩線性變換,是一種特殊的線性變換,設V是數域P上的線性空間,σ是V的線性變換,若存在V的變換τ,使στ=τσ=I,其中I為單位變換,則σ稱為可逆線性變換,τ稱為σ的逆變換,V上的可逆線性變換σ的逆變換仍為V的線性變換,且是惟一的,記為σ。線性空間的可逆線性變換的集合,對於變換的乘法構成乘法群,稱為非奇異線性變換群。

定義


設σ是線性空間V的一個線性變換,如果存在V的另一個變換τ,使得,則稱線性變換σ為可逆的,並稱τ為σ的逆。顯然,當σ可逆時,它的逆是唯一的,將σ的唯一逆記為σ。線性變換σ的逆σ也是V的線性變換,稱為σ的逆變換。當σ是可逆線性變換時,還可以定義σ的負整數次冪σ=(σ1),其中n是非負整數。
這樣,對於可逆線性變換σ來說,其中m,n可以是任意整數。

性質及證明


定理1 設σ是線性空間V的一個線性變換,稱:
Ker(σ)= { α∈V|σ( α)= }
為σ的核;稱:
Im(σ) =σ(V) = {σ( α)| α∈V}
為σ的像(或值域),Ker(σ)與σ(V)都是V的子空間,且:
dim Ker(σ) + dimσ(V) =n.
證明:容易看出Ker(σ)是V的子空間。現在證明:σ(V)也是V的子空間。
設 ξ, η是σ(V)的任意兩個向量,那麼總存在 α, β∈V,使得 ξ=σ( α), η=σ( β),因為σ是V的線性變換,於是對於任意a,b∈F,有:
a ξ+b η=aσ(α) +bσ(β) =σ(a α+b β)∈σ(V),
這就證明了σ(V)也是V的一個子空間。
設dim Ker(σ) =r,在Ker(σ)中取一個基{ α;..., α},它可以擴充為V的一個基{ α;..., α, α;..., α},則:
{σ( α),...,σ( α)}是像空間σ(V)的一個基。事實上,顯然有:
σ(V)=span{σ( α),.. ,σ( α),σ( α),.. ,σ( α)}。注意到σ( α)=σ( α)=...=σ( α)=,因此:
σ(V) =span{σ( α),...,σ( α)}.
若使得kσ( α)+...+kσ( α)= ,則:
σ(k α+...+k α)= ,
於是,kα+...+kα∈Ker(σ),因此存在 使得:
kα+...+k α=kα+...+kα
又 α;..., α, α;..., α線性無關,故k=...=k=k=...=k=0,由此可見:σ( α),...,σ( α)線性無關,因此σ( α),...,σ( α)組成σ(V)的一個基,並且dimσ(V) =n-r,故dim Ker(σ) + dimσ(V) =n。
怎樣來判別一個線性變換是否可逆呢?一般來說,一個變換可逆的充分必要條件是這個變換既是單射又是滿射。但是,從定理1出發,可以得到有限維線性空間上的線性變換具有一個很好的性質。
推論1 n維線性空間V.上的線性變換σ是單射的充分必要條件是σ是滿射。
證明:顯然,線性變換σ是單射的充分必要條件為Ker(σ)= {},而:
Ker(σ)={} dim Ker(σ)=0 dimσ(V)=n σ(V)=V,
因此,線性變換σ是單射的充分必要條件是σ是滿射。
對於線性空間V和W之間的線性映射σ,同樣可以引進核Ker(σ)與σ(V)像的概念,並且可以證明:Ker(σ)是V的子空間,σ(V)是W的子空間