可逆線性變換
一種特殊的線性變換
可逆線性變換(invertible linear transformation)亦稱非退化線性變換，或滿秩線性變換，是一種特殊的線性變換，設V是數域P上的線性空間，σ是V的線性變換，若存在V的變換τ，使στ=τσ=I，其中I為單位變換，則σ稱為可逆線性變換，τ稱為σ的逆變換，V上的可逆線性變換σ的逆變換仍為V的線性變換，且是惟一的，記為σ。線性空間的可逆線性變換的集合，對於變換的乘法構成乘法群，稱為非奇異線性變換群。
設σ是線性空間V的一個線性變換，如果存在V的另一個變換τ，使得，則稱線性變換σ為可逆的，並稱τ為σ的逆。顯然，當σ可逆時，它的逆是唯一的，將σ的唯一逆記為σ。線性變換σ的逆σ也是V的線性變換，稱為σ的逆變換。當σ是可逆線性變換時，還可以定義σ的負整數次冪σ=(σ1)，其中n是非負整數。
這樣，對於可逆線性變換σ來說，其中m，n可以是任意整數。
定理1 設σ是線性空間V的一個線性變換，稱：
Ker(σ)= { α∈V|σ( α)= }
為σ的核；稱：
Im(σ) =σ(V) = {σ( α)| α∈V}
為σ的像(或值域)，Ker(σ)與σ(V)都是V的子空間，且：
dim Ker(σ) + dimσ(V) =n.
證明：容易看出Ker(σ)是V的子空間。現在證明:σ(V)也是V的子空間。
設 ξ， η是σ(V)的任意兩個向量，那麼總存在 α, β∈V，使得 ξ=σ( α)， η=σ( β)，因為σ是V的線性變換，於是對於任意a,b∈F，有：
a ξ+b η=aσ(α) +bσ(β) =σ(a α+b β)∈σ(V)，
這就證明了σ(V)也是V的一個子空間。
設dim Ker(σ) =r,在Ker(σ)中取一個基{ α;..., α}，它可以擴充為V的一個基{ α;..., α, α;..., α}，則：
{σ( α),...,σ( α)}是像空間σ(V)的一個基。事實上，顯然有：
σ(V)=span{σ( α),.. ,σ( α),σ( α),.. ,σ( α)}。注意到σ( α)=σ( α)=...=σ( α)=，因此：
σ(V) =span{σ( α),...,σ( α)}.
若使得kσ( α)+...+kσ( α)= ，則：
σ(k α+...+k α)= ,
於是，kα+...+kα∈Ker(σ)，因此存在 使得：
kα+...+k α=kα+...+kα
又 α;..., α, α;..., α線性無關，故k=...=k=k=...=k=0，由此可見:σ( α),...,σ( α)線性無關，因此σ( α),...,σ( α)組成σ(V)的一個基，並且dimσ(V) =n-r，故dim Ker(σ) + dimσ(V) =n。
怎樣來判別一個線性變換是否可逆呢？一般來說，一個變換可逆的充分必要條件是這個變換既是單射又是滿射。但是，從定理1出發，可以得到有限維線性空間上的線性變換具有一個很好的性質。
推論1 n維線性空間V.上的線性變換σ是單射的充分必要條件是σ是滿射。
證明：顯然，線性變換σ是單射的充分必要條件為Ker(σ)= {}，而：
Ker(σ)={} dim Ker(σ)=0 dimσ(V)=n σ(V)=V，
因此，線性變換σ是單射的充分必要條件是σ是滿射。
對於線性空間V和W之間的線性映射σ，同樣可以引進核Ker(σ)與σ(V)像的概念，並且可以證明:Ker(σ)是V的子空間，σ(V)是W的子空間
基本信息
- 中文名
- 可逆線性變換
- 外文名
- invertible linear transformation
- 別名
- 非退化線性變換、滿秩線性變換
- 拼音
- kě nì xiàn xìng biàn huàn
- 類型
- 數學術語
- 所屬學科
- 所屬問題
- 高等代數(線性變換)