極限

極限概念更精確地表述為：如果序列x1,x2,...xn,...，當n無窮大時，趨向於某個確定的數值a,則稱數a為該序列的極限。記作

極限思想在古希臘的窮竭法和中國古代的割圓術中已經萌芽。在牛頓的微積分中也含有極限思想。但是，直到19世紀初，人們對極限的理解還沒有擺脫幾何直觀。只是到了1821年，法國數學家A.L.柯西才把極限概念建立在算術的基礎上。他把極限定義為：若變數的一串數值無限地趨向某一定值時，其差可以隨意地小，則該定值稱為這一串數值的極限。19世紀70年代，德國的K.魏爾施特拉斯等人在數學分析的算術化過程中，進一步用"ε-N"語言更精確地把極限概念表述為：如果序列x1,x2,...xn,...對於任意給定的無論怎樣小的正數ε，總存在一個正整數N，使得當n>N時，不等式ㄧxn-aㄧ<ε恆成立，則稱數a為該序列的極限。

極限概念體現了有限與無限的對立統一關係。序列x1，x2，...xn,...是由無限多個有限值組成的，並且在收斂的條件下，存在著有限的極限值。這說明了無限包含著有限，並且在一定條件下，可以向有限轉化；另一方面，有限又包含著無限，在一定條件下，可以轉化為無限，並通過無限表現自身。這一點在函數f(x)的級數展開式

中得到充分體現。

正是有了這一公式，我們才能研究複雜函數的變化情況，以及求無理數的近似值。例如，求自然對數的底e的近似值，就可以利用它的級數展開式

求得。這表明極限概念具有重要的方法論意義。

數列的定義

一個定義在正整數集合上的函數yn=f(n)(稱為整標函數)，當自變數n按正整數1，2，3…依次增大的順序取值時，函數值按相應的順序排成一串數：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…稱為一個無窮數列，簡稱數列。數列中的每一個數稱為數列的項，f(n)稱為數列的一般項。

數列的極限

如果對於任意給定的正數c，總存在一個正整數N，當n>N時，總存在

此定義中的正數c只有任意給定不等式才能表達出xn與a無限接近的意思。且定義中的正整數N與任意給定的正數c是有關的，它是隨著c的給定而選定的。

函數的極值有兩種情況：a)：自變數無限增大；b)：自變數無限接近某一定點，如果在這時，函數值無限接近於某一常數A，就叫做函數存在極值。

a):自變數趨向無窮大時函數的極限

設函數y=f(x)，若對於任意給定的正數ε(不論其多麼小)，總存在著正數X，使得對於適合不等式

的一切x，所對應的函數值f(x)都滿足不等式那麼常數A就叫做函數y=f(x)當x→∞時的極限，記作：b):自變數趨向有限值時函數的極限

設函數f(x)在某點x0的某個去心鄰域內有定義，且存在數A，如果對任意給定的ε(不論其多麼小)，總存在正數δ，當0＜＜δ時，＜ε則稱函數f(x)當x→x0時存在極限，且極限為A，記：

如果對於任意給定的正數C在變數Y變化過程中，總有那麼一個時刻，在那個時刻以後，

恆成立，則稱變數y變化過程中以常數A極限，記作。

如果在某一變化過程中，變數Y有極限，則變數Y是（局部）有界變數。

已知函數，當x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：

設有函數y=，在x=x0的去心鄰域內有定義，對於任意給定的正數N(一個任意大的數)，總可找到正數δ，當時，成立，則稱函數當時為無窮大量。記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）。

以零為極限的變數稱為無窮小量。

定義：設有函數

對於任意給定的正數C不論它多麼小)，總存在正數N(或正數M)，使得對於適合不等式或的一切x，所對應的函數值滿足不等式，則稱函數當(或x→∞)時為無窮小量。記作：或。無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。

無窮大量與無窮小量的區別是：前者無界，後者有界，前者發散，後者收斂於0。

無窮大量與無窮小量是互為倒數關係的。

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。

用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對於被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變數，確認這變數通過無限過程的結果就是所求的未知量；最後用極限計算來得到這結果。極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：“數學分析是一門什麼學科?”那麼可以概括地說：“數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科”。