怎樣解題

“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，並且在書中再三提到該表。實際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。如果能在平時的做題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

第一，必須弄清問題

弄清問題

未知數是什麼？

已知數據（指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱）是什麼？

條件是什麼？

滿足條件是否可能？

要確定未知數，條件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多餘的？或者是矛盾的？

畫張圖。

引入適當的符號。

把條件的各個部分分開。能否把它們寫下來？

第二，找出已知數與求知數之間的聯繫。

如果找不出直接的聯繫，可能不得不考慮輔助問題。

應該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

以前見過它嗎？是否見過相同的問題而形式稍有不同？

是否知道與此有關的問題？是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

這裡有一個與現在的問題有關，且早已解決的問題，能應用它嗎?

能不能利用它？能利用它的結果嗎？為了能利用它，是否應該引入某些輔助元素？

能不能重新敘述這個問題？能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分，這樣對於未知能確定到什麼程度？它會怎樣變化？能不能從已知數據導出某些有用的東西？能不能想出適合於確定未知數的其它數據？如果需要的話，能不能改變未知數和數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？

是否利用了所有的已知數據？是否利用了整個條件？是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，實行你的計劃。

實現計劃

實現求解計劃，檢驗每一步驟。

能否清楚地看出這一步是正確的？能否證明這一步是正確的？

第四，驗算所得到的解。

回顧反思

能否檢驗這個論證？能否用別的方法導出這個結果？能否一下子看出它來？

能不能把這結果或方法用於其它的問題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實卻已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。把尋找並發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解，對解題的思維過程看得見，摸得著，易於操作。波利亞推崇探索法，現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發聯想。聯想什麼？怎樣聯想？看一看錶中所提出的建議和啟發性問題吧。“以前見過它嗎？是否見過相同的問題而形式稍有不同？是否知道與此有關的問題？是否知道一個可能用得上的定理？……”波利亞說在寫這些東西時，腦子裡重現了過去在研究數學時解決問題的過程，實際上是解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學，特別是研究解題方法時的優勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。

在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。

G 波利亞 ( 男) （George Polya，1887—1985），著名美國數學家和數學教育家。生於匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學博士學位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業大學任數學助理教授、副教授和教授，1928年後任數學系主任。1940年移居美國，歷任布朗大學和斯坦福大學的教授。1976年當選美國國家科學院院士。還是匈牙利科學院、法蘭西科學院、比利時布魯塞爾國際哲學科學院和美國藝術和科學學院的院士。其數學研究涉及複變函數、概率論、數論、數學分析、組合數學等眾多領域。1937年提出的波利亞計數定理是組合數學的重要工具。長期從事數學教學，對數學思維的一般規律有深入的研究，在這方面的名著有《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

第一部分　在教室里

目的

1.幫助學生

2.問題，建議，思維活動

3.普遍性

4.常識

5.教師和學生，模仿和實踐

主要部分，主要問題

6.四個階段

7.理解題目

8.例子

9.擬訂方案

10.例子

11.執行方案

12.例子

13.回顧

14.例子

15.不同的方法

16.教師提問的方法

17.好問題與壞問題

進一步的例子

18.一道作圖題

19.一道證明題

20.一道速率題

第二部分　怎樣解題

一段對話

第三部分　探索法小詞典

類比

輔助元素

輔助題目

波爾察諾

出色的念頭

你能檢驗這個結果嗎？

你能以不同的方式推導這個結果嗎？

你能應用這個結果嗎？

執行

條件

矛盾

推論

你能從已知數據中得出一些有用的東西嗎？

你能重新敘述這道題目嗎？

分解和重組

定義

笛卡兒

決心、希望、成功

診斷

你用到所有的已知數據了嗎？

你知道一道與它有關的題目嗎？

畫一張圖

檢驗你的猜想

圖形

普遍化

你以前見過它嗎？

這裡有一道題目和你的題目有關

而且以前解過

探索法

探索式論證

如果你不能解所提的題目

歸納與數學歸納

創造者悖論

條件有可能滿足嗎？

引理

觀察未知量

現代探索法

符號

帕普斯

拘泥與變通

實際題目

求解題、證明題

進展與成績

謎語

歸謬法與間接證明

多餘

常規題目

發現的規則

格式的規則

教學的規則

將條件的不同部分分開

建立方程

進展的標誌，

特殊化

潛意識活動

對稱性

新舊術語

量綱檢驗

未來的數學家

聰明的解題者

聰明的讀者

傳統的數學教授

變化題目

未知量是什麼？

為什麼證明？

諺語的智慧

倒著干

第四部分　題目、提示、解答

題目

提示

解答

註釋