線面平行

一條直線與一個平面無公共點（不相交），稱為直線與平面平行。

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：，求證：

反證法證明：假設a與α不平行，則它們相交，設交點為A，那麼

∵，∴A不在b上

在α內過A作，則

又∵，與矛盾。

∴假設不成立，

向量法證明：設a的方向向量為a，b的方向向量為b，面α的法向量為p。

∵

∴，

∵，由共線向量基本定理可知存在一實數k使得

那麼

即

∴

平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行。已知：，且a不在α上。求證：證明：設a與b的垂足為A，b與α的垂足為B。假設a與α不平行，那麼它們相交，設，連接BC由於不在直線上的三個點確定一個平面，因此ABC首尾相連得到，即，即∴在中，有兩個內角為90°，這是不可能的事情。∴假設不成立，

（1）利用定義：證明直線與平面無公共點；

（2）利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行；

（3）利用面面平行的性質：兩個平面平行，則一個平面內的直線必平行於另一個平面。

註：線面平行通常採用構造平行四邊形來求證。

一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

已知：。求證：

證明：假設a與b不平行，設它們的交點為P，即P在直線a，b上。

∵

與矛盾

∴

此定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。

注意：直線與平面平行，不代表與這個平面所有的直線都平行，但直線與平面垂直，那麼這條直線與這個平面內的所有直線都垂直。

一條直線與一個平面平行，則該直線垂直於此平面的垂線。

已知：。求證：證明：由於α的垂線有無數條，因此可將b平移至與a相交，設平移的直線為c，，c與α的垂足為N。∵兩條相交直線確定一個平面∴設a和c構成的平面為β，且，且由定理1可知由於平移不改變直線的方向，因此