定比分點公式

有向線段定比分點的坐標公式

定比分點公式一般指有向線段的定比分點的坐標公式,是平面幾何和解析幾何的基本公式。定比分點公式不僅在解析幾何中有十分廣泛的應用,還可以用它解決代數問題,它是我們推導公式、計算、證明問題常用的基本公式。

向量形式


公式
圖一
圖一
設為 一邊上一點,則
設,則
對於前者,
對於後者,將 和相加,應用 即得結論。

坐標形式


公式
平面直角坐標系內,已知兩點, ;在兩點連線上有一點,設它的坐標為,且,那麼我們說分有向線段 的比為。我們將
稱為有向線段 的定比分點的坐標公式。
當為內分點時, ;當為外分點時, ;當與重合時, ;當與重合時,不存在。
推導過程
對 及其上一點應用定比分點公式的向量形式,即證。

推論


下面不加證明地給出兩個推論。
中點公式
已知兩點, ,設兩點中點為,則推出中點公式
已知,,設三角形重心為,則推出三角形重心公式