幾何證明

數學上的證明包括兩個不同的概念。首先是非形式化的證明：一種用來說服聽眾或讀者接受某個定理或論斷的嚴密的自然語言表達式。由於這種證明依賴於證明者所使用的語言，因此證明的嚴密性將取決於語言本身以及聽眾或讀者對語言的理解。非形式化證明出現在大多數的應用場合中，例如科普講座、口頭辯論、初等教育或高等教育的某些部分。有時候非形式化的證明被稱作“正式的”，因為其中的論證嚴謹，理據充足，但數理邏輯學家使用“正式的”證明時指的是另一種完全不同的證明——形式化證明。

在數理邏輯中，形式化證明並不是以自然語言書寫，而是以形式化的語言書寫：這種語言是由一個固定的字母表中的字元所構成的字元串組成的。而證明則是以形式化語言表達的有限長度的序列。這種定義使得形式化證明不具有任何邏輯上的模糊之處。研究證明的形式化和公理化的理論稱為證明論。儘管理論上來說，每個非形式化的證明都可以轉為形式化證明，但實際中很少需要用到。對形式化證明的研究主要應用在廣泛意義上上可證明性的性質，或說明某些陳述的不可證明性等等。

分析圖形的切入點及所求。

作出輔助線，綜合運用定理，找出已知和未知的聯繫，或推翻否倒命題不成立的 假設。

規範作答。

分為直接證明和間接證明。

反證法是一種古老的證明方法，其思想為：欲證明某命題是假命題，則反過來假設該命題為真。在這種情況下，若能通過正確有效的推理導致邏輯上的矛盾（如導出該命題自身為假，於是陷入命題既真且假的矛盾），又或者與某個事實或公理相悖，則能證明原來的命題為假。無矛盾律和排中律是反證法的邏輯基礎。反證法的好處是在反過來假設該命題為真的同時，等於多了一個已知條件，這樣對題目的證明常有幫助。

數學歸納法是一種證明可數無窮個命題的技巧。欲證明以自然數n編號的一串命題，先證明命題1成立，並證明當命題p(n)成立時命題p(n+1)也成立，則對所有的命題都成立。在皮亞諾公理系統中，自然數集合的公理化定義就包括了數學歸納法。數學歸納法有不少變體，比如從0以外的自然數開始歸納，證明當命題對小於等於n的自然數成立時命題p(n+1)也成立，反向歸納法，遞降歸納法等等。廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構，例如集合論中的樹。另外，超限歸納法提供了一種處理不可數無窮個命題的技巧，是數學歸納法的推廣。

構造法一般用於證明存在性定理，運用構造法的證明稱為構造性證明。具體做法是構造一個帶有命題里所要求的特定性質的實例，以顯示具有該性質的物體或概念的存在性。也可以構造一個反例，來證明命題是錯誤的。

有些構造法證明中並不直接構造滿足命題要求的例子，而是構造某些輔助性的工具或對象，使得問題更容易解決。一個典型的例子是常微分方程穩定性理論中的李亞普諾夫函數的構造。又如許多幾何證明題中常常用到的添加輔助線或輔助圖形的辦法。

與構造法證明相對的是非構造性證明，即不給出具體的構造而證明命題所要求對象的存在性的證明方法。

窮舉法是一種列舉出命題所包含的所有情況從而證明命題的方法。顯然，使用窮舉法的條件是命題所包含的可能情況為有限種，否則無法一一羅列。例如證明“所有兩位數中只有25和76的平方是以自己作為尾數”，只需計算所有兩位數：10至99的平方，一一驗證即可。

在謂詞邏輯里，若同時否定一個命題的主詞和謂詞，則其結果稱為原命題的 換質。若交換主詞和謂詞的位置，則其結果被稱作 換位。先換質再換位則被稱為 換質位，同理先換位再換質則被稱為 換位質。例如“所有的S是P”的換質位是“所有不是P的不是S”。換質位法是指利用換質或換位，將一個命題改為一個與其邏輯等價的命題，因此只要證明了後者就證明了原來的命題。例如，要證明鴿籠原理：“如果n個鴿籠里裝有多於n只鴿子，那麼至少有一個籠子里有兩隻鴿子”，可以轉證與其等價的逆否命題：“如果n個鴿籠的每一個中至多裝有一隻鴿子，那麼n個鴿籠里至多裝有n只鴿子”。而後者是顯然的。

個案分析或分類討論，是指將結論分成有限的個案，然後逐個證明的方法。

算兩次是一種對同一個量進行兩種雖不同但都正確的分析，得到兩個雖不同但相等的表達式的方法，常用於證明恆等式。

直觀證明、計算機輔助證明等。

直到20世紀中，人們一直認為任何的數學證明都應當能夠被一個水平足夠的數學家檢驗，以證實其正確性。然而，今天的數學家已經能夠運用計算機來證明定理，並且完成人類永遠無法完成的計算。四色定理的首個證明是一個經典的計算機輔助證明的例子。證明的方法是將地圖上的無限種可能情況減少為1936種狀態，並由計算機對每個可能的情況進行驗證。不少數學家對於計算機證明持謹慎態度，因為很多證明太長，不能由人手直接驗證。此外，演演算法上的錯誤，輸入時的失誤甚至計算機運行期間出現的錯誤都有可能導致錯誤的結果。