數學證明
數學證明
在數學上，證明是在一個特定的公理系統中，根據一定的規則或標準，由公理和定理推導出某些命題的過程。比起證據，數學證明一般依靠演繹推理，而不是依靠自然歸納和經驗性的理據。這樣推導出來的命題也叫做該系統中的定理。
數學證明建立在邏輯之上，但通常會包含自然語言，因此可能會產生一些模稜兩可的部分。實際上，若證明的大部分內容用文字形式的數學寫成，可以視為非形式邏輯的應用。在證明論的範疇內，只考慮用純形式化的語言寫出的證明。這個區別導致了對過往到現在的數學實踐、數學上的擬經驗論和民間數學（或稱大眾數學）的大部分檢驗。數學哲學就關注語言和邏輯在數學證明中的角色，和作為語言的數學。
數學上的證明包括兩個不同的概念。首先是非形式化的證明：一種用來說服聽眾或讀者接受某個定理或論斷的嚴密的自然語言表達式。由於這種證明依賴於證明者所使用的語言，因此證明的嚴密性將取決於語言本身以及聽眾或讀者對語言的理解。非形式化證明出現在大多數的應用場合中，例如科普講座、口頭辯論、初等教育或高等教育的某些部分。有時候非形式化的證明被稱作“正式的”，因為其中的論證嚴謹，理據充足，但數理邏輯學家使用“正式的”證明時指的是另一種完全不同的證明——形式化證明。
在數理邏輯中，形式化證明並不是以自然語言書寫，而是以形式化的語言書寫：這種語言是由一個固定的字母表中的字元所構成的字元串組成的。而證明則是以形式化語言表達的有限長度的序列。這種定義使得形式化證明不具有任何邏輯上的模糊之處。研究證明的形式化和公理化的理論稱為證明論。儘管理論上來說，每個非形式化的證明都可以轉為形式化證明，但實際中很少需要用到。對形式化證明的研究主要應用在廣泛意義上上可證明性的性質，或說明某些陳述的不可證明性等等。
1，屬性概念（例如素數；無理數）。
2，實體概念（例如一種形式結構，二項式）。
3，屬性包含實體（費馬素數）。
4，實體包含屬性（孿生素數）。
證明的對象是命題，命題的本質是斷定，斷定的性質是明確。明確的解釋就是沒有歧義。許許多多的數學證明，發生了模糊概念的結果，這個就不能算是完成證明。所以，數學證明要求數學概念精確、專一、系統、穩定，可以檢驗，可以區分。推理符合形式邏輯要求。在其他學科，例如物理學中，科學事實很快可以上升到科學定律。但是，數學證明不承認科學事實（所以歸納法無效），必須把事實上的科學概念，經過演繹證明以後，才能算數學定理。人們常說：眼見為實，耳聽為虛；數學家說：眼見為虛，耳聽為虛，所證為實。只有通過嚴格的邏輯證明才能確認結論的真實性是數學與其他學科最根本的差異。
1，數學證明有直接的正面的證明，即演繹法就是指三段論方法，三段論有256個格，有效格只有24個。
數學證明產生的全稱判斷最常用的格是AAA.。
三段論方法必須嚴格按照規則，參見三段論。
2，數學證明使用反證法最容易出現錯誤。因為反證法要使用“假定”。
1，假定。只能用在否定結果的證明中，例如，歐幾里得證明素數無窮多個和費馬無窮遞降法。假定a成立，可以推出b，得到c，c與a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。
2，假定不能用在肯定的結論。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（這個就是預期理由的錯誤）
3，為什麼“假定”只能用於否定的結論，而不能用於肯定的結論？一個對科學理論更強的邏輯制約因素是，它們是能夠被證偽的。換一句話說，因為以後能夠被觀測作有意義的檢驗，理論一定有被證偽的可能性。這種證偽的判據是區分科學與偽科學的一種方法。原因在於證實的內在局限性，證實只能增加一個理論的可信度，卻不能證明整個理論的完全正確。因為在未來的某一個時刻，總是會發現與理論有衝突的事例。只有通過嚴格的邏輯證明才能確認結論的真實性是數學與其他學科最根本的差異。
證明的對象是指被證明的內容，即主項。例如“素數有無窮多個”。主項是“素數”。主項只能是單獨概念和普遍概念。單獨概念是指獨一無二的概念，例如“上海”。因為，所有的數學定理都是全稱判斷，所有的全稱判斷的主項都是普遍概念和單獨概念。
a，普遍概念
反映的是一個對象以上的概念，反映的是一個“類”，這個詞項的內涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成。
普遍概念的每一個個體必然具有這個概念的基本屬性。
例如：“工人”是一個普遍概念，無論“石油工人”，“鋼鐵工人”，還是“中國工人”，“德國工人”，它們必然地具有“工人”的基本屬性。數學中的普遍概念有例如“素數”，“合數”，等。
“素數有無窮多個”就是普遍概念的命題。
b，單獨概念
是獨一無二的概念，外延只有一個，例如“上海”、“孫中山”。數學中的單獨概念有“e”、“π”。
“e是一個超越數”就是單獨概念的命題。
c，集合概念
集合概念反映的是集合體，這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成，例如“中國工人階級”就是一個集合概念，集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性，例如某一個“中國工人”，不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性 。數學中主項是集合概念的命題有費馬大定理和黎曼猜想等。還要說明的是“集合概念”，是指一個集合體，集合體中的個體，不是必然具有集合體的基本屬性，所以對集合概念的證明必須使用完全歸納法，對每一個個體逐一證明。嚴格說，對集合概念不叫“證明”，只是歸納。（參見任何一本《邏輯學》）。
一個公式是集合概念或者普遍概念的區別
1），普遍概念命題公式
公式中沒有變數，或者有變數n並且可以無窮大，但是根據計算結果可以判斷事物的性質，是普遍概念命題公式。
普遍概念的公式，在計算之前，就知道了計算結果的性質。例如，我們看到a²+b²=c²就知道是一個直角三角形。
2），集合概念公式
特徵就是：在證明或者計算某一個具體的數值之前，是無法知道這個數值結果的性質。
這個例如，歐拉在1772年素數公式，是一個集合概念公式：f(n)=n²+n+41
的值都是素數。
對於前幾個自然數n=0,1,2,3...，多項式的值是41,43,47,53,61,71...。當n等於40時，多項式的值是1681=41×41，是一個合數。實際上，當n能被41整除的時候，P(n)也能被41整除，因而是合數.。
集合概念的公式不能保證計算結果具有這個公式想要的結果性質，是一種不確定的結果公式。因為集合概念的每一個個體不是必然具有這個概念的基本屬性。
數學證明必須嚴格按照統一標準
1.證明對象必須是普遍概念，不得對集合概念進行所謂“證明”。
3.論據必須是正確的。
4.不得使用模糊概念，就是說概念必須是唯一的解釋，不能有歧義（例如所謂“殆素數”，“充分大”等嚴禁使用）。
5.所有結論必須是可以操作的，就是說，證明得出結論以後，通過這個結論計算，人們可以知道結果，而不會出現互相矛盾的結果。
6.結論必須是全稱的，特稱結論一律無效。
7.證明過程必須具有傳遞性，沒有傳遞性的證明是無效的，例如，證明費馬大定理過程中，費馬大定理與谷山志村猜想沒有傳遞性，所以，證明無效。
傳遞關係是一種特殊關係，指A與B；B與C；,都有，可以推知A與C也有。
傳遞關係，甲和乙是親兄弟，乙和丙是親兄弟，所以，甲和丙也是親兄弟（親兄弟一詞必須嚴格定義，因為有同父同母的親兄弟；有同父異母的親兄弟；有同母異父的親兄弟；有亂倫情況下的親兄弟，例如兒子與母親通姦生產的孩子。）。
反傳遞關係，老張是大張的父親，大張是小張的父親，所以，老張不是小張的父親（父親也要嚴格定義，參見上面情況）。
將非傳遞關係誤認為反傳遞關係：a地到b地100米，b地到c地100米，所以a地到c地不會是100米。（相距多遠是非傳遞關係，誤認為是反傳遞關係。例如等邊三角形三個頂點都是相等的）
基本信息
- 中文名
- 數學證明
- 外文名
- logical proof
- 別名
- 邏輯證明
- 拼音
- shù xué zhèng míng
- 術語類別
- 數學術語
- 概念
- 數學上證明兩個不同的概念
- 證明對象
- 證明的對象是指單獨概念和普遍概念
- 要求
- 證明的對象是命題
- 應用學科
- 數學
- 類別
- 非形式化和形式化