合數

● 所有大於2的偶數都是合數。

● 所有大於5的奇數中，個位為5的都是合數。

● 除0以外，所有個位為0的自然數都是合數。

● 所有個位為4，6，8的自然數都是合數。

● 最小的（偶）合數為4，最小的奇合數為9。

● 每一個合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積，即分解質因數。(算術基本定理)

● 對任一大於5的合數(威爾遜定理):

合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個有兩個質因數的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者， （其中μ為默比烏斯函數且''x''為質因數個數的一半），而前者則為

注意，對於質數，此函數會傳回 -1，且。而對於有一個或多個重複質因數的數字''n''， 。

另一種分類合數的方法為計算其因數的個數。所有的合數都至少有三個因數。一質數的平方數，其因數有。一數若有著比它小的整數都還多的因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

合數可分為奇合數和偶合數，也能基本合數（能被2或3整除的），分陰性合數（6N-1）和陽性合數（6N+1），還能分雙因子合數和多因子合數。

只有1和它本身兩個因數的自然數，叫質數（或稱素數）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數只有1和它本身2這兩個因數，所以2就是質數。與之相對立的是合數：“除了1和它本身兩個因數外，還有其它因數的數，叫合數。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數除了1和它本身4這兩個因數以外，還有因數2，所以4是合數。）

100以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25個。

質數的個數是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那麼，N+1是素數或者不是素數。

● 如果N+1為素數，則N+1要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。

● 如果N+1為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。

因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。

其他數學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，Hillel Furstenberg則用拓撲學加以證明。

任何一個大於1的自然數N，都可以唯一分解成有限個質數的乘積，這裡P1

這樣的分解稱為N的標準分解式。

算術基本定理的內容由兩部分構成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的）。

算術基本定理是初等數論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。

此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。高斯證明復整數環Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導了諸如唯一分解整環，歐幾里得整環等等概念，更一般的還有戴德金理想分解定理。

合數的判定

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合數可分成基本合數（能被2和3 整除的），陰性合數（加1能被6整除的）和陽性合數（減1能被6整除的）。

陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。

A陰一上有整數解，

則 6(3N-W)+1 是小因子數；6(3N+W)+1 是大因子數。

若不定方程（3N）^2-N-(B-1)/36=W^2 有整數解，

則 6(3N-W)-1 是小因子數；6(3N+W)-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

A陰二上

有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；並很快找到數因子，

A陰二下

,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，並能很快找到數因子；

N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數.

36-25形的陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。

A陰三上

有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；並很快找到數因子，

A 陰三下

,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，並能很快找到數因子；

N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數.36-19形的陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。

A陰四上

有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；並很快找到數因子，

A陰四下

,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，並能很快找到數因子；

N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數。36-13形的陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。

A陰五上

有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；並很快找到數因子;

A陰五下

,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，並能很快找到數因子；

N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數.36-7形的陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。

A陰六上

有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；並很找到數因子，

A陰六下

,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，並能很快找到數因子；

N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數.

陽性數可在以下各式中確定是陽性上合數和陽性下合數還是陽性素數。

A陽一上

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，並能很快找到數因子.

A陽一下

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，並能很快找到數因子；

， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。

A陽二上

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，並能很快找到數因子；

A陽二下

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，並能很快找到數因子；

， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。

A陽三上

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，並能很快找到數因子；

A陽三下

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，並能很快找到數因子；

， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。

A陽四上

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，並能很快找到數因子;

A陽四下

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，並能很快找到數因子；

， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。

A陽五上

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，並能很快找到數因子；

A陽五下

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，並能很快找到數因子；

， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數.

A陽六上

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，並能很快找到數因子；

A陽六下

一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，並能很快找到數因子；

， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。

兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。

上面有多處筆誤，公式又不能更改，以下為準。

命題 1 對於B=36N+1 形數而言。

若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）+1 是大因子數。

若不定方程（3N）^2-N-（B-1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）-1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 2對於B=36N+7 形數而言。

若不定方（3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數，6（3N+W+1）+1 是大因子數。

若不定方程（3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+W+3）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 3對於B=36N+13 形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N+1-W）+1 是小因子數，6（3N+1+W）+1是大因子數。

若不定方程（3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2 有整數解，

則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+2+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 4 對於B=36N+19 形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+1-W）+1 是小因子數；6（3N+2+W）+1 是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+1-W）-1 是小因子數；6（3N+2+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 5 對於B=36N+25 形數而言。

若不定方（3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數解，

則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+2+W）+1 是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數解，

則 6（3N+1-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 6 對於B=36N+31 形數而言。

若不定方程（3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+3+W）+1是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數解，

則 6（3N-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 7對於B=36N-1 形數而言。

若不定方程（3N）^2-N+（B+1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。

若不定方程（3N）^2+N+（B+1）/36=W^2 有整數解，

則 6（W-3N）-1 是小因子數；6（W+3N）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 8對於B=36N+5 形數而言。

若不定方（3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（W-3N）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1 是大因子數。

若不定方程（3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+3）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 9對於B=36N+11 形數而言。

若不定方程（3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2 有整數解，

則 6（W-3N-1）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1是大因子數。

若不定方程（3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2 有整數解，

則 6(W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+2）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 10 對於B=36N+17 形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-1）+1 是小因子數；6（W+3N+2）-1 是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-1）-1 是小因子數；6（W+3N+2）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 11 對於B=36N+23 形數而言。

若不定方（3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數解，

則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+2）+1 是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數解，

則 6（W-3N-1）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 12 對於B=36N+29 形數而言。

若不定方程（3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+3）-1是大因子數。

若不定方程（3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整數解，

則 6（W-3N）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

關於哥德巴赫猜想(Su Bin):設（2+Na）*(2+Nb)=x經過推導得(x-4)^2=3(Na+Nb)^2+2NaNb(x-1)

所以x≥4,且x≠5.所以x≥6.

左邊為合數，右邊是兩個數的和。