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聯立方程式

聯立方程式

方程式是數學中很普通的概念。如果方程式含有一個以上的未知數時,就有一個以上的方程式。有幾個未知數就須有幾個方程式,這樣方程式中的各個未知數才能有確定的數值解。這些方程式聯合起來組成一組,叫聯立方程式。聯立方程式可表示多種事物之間的複雜關係,在生產和科研中有著廣泛的應用。

歷史起源


九章算術
九章算術
九章算術》一書在我國和世界上最早列出了聯立方程式。約成書於公元紀元前後的《九章算術》 ,其第八章“方程”中專門談到了聯立方程式。書中所列的方程,未知數不用符號表示,而是用算籌自上而下羅列各項係數,常數項列於最下,完成一行。二元者,列二行;三元者,列三行。由於算籌的排列方式形如方陣,故稱“方程”。“方程”章介紹了聯立一次方程式的消元解法。以該章第一題為例:“今有上禾三秉(捆),中禾二秉,下禾一秉,實(穀米)三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,實三十四斗,上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?”這相當於現代求解下列三元一次聯立方程式:
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
每一個方程中都包含著三個未知數,利用消元的原理依次削減方程中未知數的數目,使之減為二個、一個,就可以求得所需的結果。這和現代代數學中通用的方法實質上是一樣的。
公元13世紀,我國數學家又發明了一種列方程的方法——天元術,用“天”、“地”兩字表示不同的未知數,可解二元高次聯立方程式。元朝朱世傑所著《四元玉鑒》中的四元術,是用天、地、人、物四元表示四元高次方程組。四元術用四元消法解題,條理分明。
公元5世紀后,印度數學家才能解一次聯立方程式。在西方,公元16世紀后才有討論一次聯立方程式的數學書。至於解高次聯立方程式,則更是以後的事情了。

古代方程


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│Ⅰ Ⅱ Ⅲ 今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,
│Ⅱ Ⅲ Ⅱ 實三十九斗,上禾二秉,中禾三秉,
│ 下禾一秉,實三十四斗,上禾一秉,
│Ⅲ Ⅰ Ⅰ │
│ 中禾二秉,下禾三秉,實二十六斗。
│〓〓〓 問上中下禾實一秉各幾何?