天元術

據史籍記載，金、元之際已有一批有關天元術的著作，如蔣周《益古演段》、李文一《照膽》、石通道《鈐經》、劉汝鍇《如積釋鎖》等（朱世傑《四元玉鑒》祖頤後序），可惜都已失傳。但在稍晚的李冶和朱世傑的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。

天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現代代數學中列方程的方法基本一致，但寫法不同。它首先要“立天元一為某某”，相當於“設x 為某某”，再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式。然後，通過類似合併同類項的過程，得出一個一端為零的方程。天元術的表示方法不完全一致，按照李冶的記法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可寫成如下形式：其中a0，a1，.，an 表示方程各項係數，均為籌算數碼，在常數項旁邊記一“太”字（或在一次項旁邊記一“元”字），“太”或“元”向上每層減少一次冪，向下每層增加一次冪。方程列出后，再按增乘開方法求正實根。

歐洲的數學家，到了十六世紀才完成的東西，在我國在十三世紀已經作出來了。1248年，金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》中，系統地介紹了天元術。用天元術列方程的方法是：首先“立天元一為某棠”，就是現在的設未知數x，然後依據問題的條件列出兩個相等的天元式（就是含這個天元的多項式），把這兩個天元式相減，就得到一個天元式，就是高次方程式。最後用增乘開方法求這個方程的正根。顯然，天元術和現今代數方程的列法雷同，而在歐洲，只是在十六世紀才開始做到這一點。

我國把解方程稱為“開方術”，除了天元術，還有四元術，既是解四元高次方程，這一點，歐洲直到十八世紀才完成，比中國晚了四百多年。

天元式

相當於算式

天元術的出現，提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。而在歐洲，只是到了十六世紀才做到這一點。此外，宋代創立的 增乘開方法又簡化了求解數學高次方程正根的運算過程。因此，在這一時期，列方程和解方程都有了簡單明確的方法和程式，中國古典代數學發展到了比較完備的階段。

不僅如此，繼天元術之後，數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最後又由朱世傑創立了四元術。

天元術的思想淵源於道、名、墨三家。作為天元術發展高峰的四元術，朱世傑的《四元玉鑒》天地人與物並列的“四象會元”方法極有可能也受到道教思想的影響。

天元術是一種半符號式的代數，“以不同的文字表示不同的未知數意味著開始向符號代數的轉化，這包括了對數的抽象、對文字的抽象、對運算的抽象思維過程，表現了中國數學家高度的抽象思維能力。”王鴻鈞、孫宏安：《中國古代數學思想方法》，江蘇教育出版社，1988，第143頁。是近代符號代數的雛形。天元術的出現和完善是中國古代數學思想發展的重要環節，而這一重要數學思想的源頭活水乃是道教思想。

天元術是一種用數學文字元號列方程的方法。“立天元一”是其主要數學思想方法，這與今之代數學“設Ⅹ為某某”是等價的。中國古代數學列方程的數學思想可以遠溯到漢代《九章算術》，書中就用文字敘述的方法建立了二次方程，但尚缺乏明確的未知數概念。唐代王孝通以高度的數學技巧成功地列出了三次方程，但還無法掌握列方程的一般方法，仍然需要藉助語言文字來表述。郭金彬先生對中國傳統計算思想的演變進行了研究，認為：“到了宋代，高次方程的發展使方程的造法越來越困難。但是，不找出某種普遍的列方程的方法是不行的。因為，眾所周知，要運用方程求解實際問題，首先要根據問題所提供的條件列出方程，然後解方程求根，獲得答案。‘天元術’就是在這種情況下產生出來的具有中國獨特風格的一種普遍的列方程的方法”郭金彬：《中國傳統科學思想史論》，知識出版社，1993，第43頁。郭金彬先生所說的“中國獨特風格”，筆者以為其主要就體現在道門中人洞淵所首創的“天元”概念及“立天元一”天元術思想方法。

金代道教數學家所傳的天元術對南宋數學思想的發展可能也產生過積極影響。錢寶琮先生在論及“金元之際數學之傳授”這一問題時，指出：

南宋數學以秦九韶《數書九章》（公元1247年）為最有價值。九韶為四川人，轉至東南，寓居湖州。《數書九章》自序雲“早歲侍親中都，因得訪習於太史。又嘗從隱君子受數學”。其大衍求一術之“立天元一”，疑得自金人，非南宋另有天元術也。《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社，1983，第321頁。

李冶（1192—1279），真定欒城（今河北欒城縣）人。生於大興府（今北京市）。曾為金代詞賦科進士，鈞州（今河南禹州市）知州，元翰林學士知制誥同修國史。晚年隱居於河北元氏縣封龍山下，收徒講學並勤於著述，與元好問、張德輝交往密切，時人尊稱“龍山三老”。他在數學專著《測圓海鏡》（12 卷）中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運演演算法則，以及文字元號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。《益古演段》（3 卷）則是他為天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。

朱世傑，字漢卿，號松庭，生平不詳。所著《算學啟蒙》3 卷，內容包括常用數據、度量衡和田畝面積單位的換算、算四則運演演算法則、籌算簡法、分數、比例、面積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部較全面的數學啟蒙書籍。《數學啟蒙》曾傳入朝鮮和日本，產生了一定的影響。

除李冶、朱世傑外，贍思《河防通議》中也有天元術在水利工程方面的應用。