數書九章
南宋數學家秦九韶所著數學著作
《數書九章》，中國古代數學著作，由南宋數學家秦九韶所著。書中共列算題81問，分為9類。全書採用問題集的形式，並不按數學方法來分類。題文也不只談數學，還涉及自然現象和社會生活，成為了解當時社會政治和經濟生活的重要參考文獻。該書在數學內容上頗多創新，是對《九章算術》的繼承和發展。它概括了宋元時期數學的主要成就，標誌著中國古代數學的高峰。
數書九章
《數書九章》最初叫《數術大略》或《數學大略》（9卷)，分為9類，每類為一卷。約到元代時更名為《數學九章》，內容也由9卷改為18卷。明初抄本被收入《永樂大典》（1408），另抄本藏於文淵閣。明代學者王應遴傳抄時定名為《數書九章》，明末學者趙琦美再抄時沿用此名。抄本形式流傳到清代，1781年由李銳校訂后收入《四庫全書》。1842年由宋景昌校訂后收入《宜稼堂叢書》第一次印刷出版，結束了近600年的傳抄歷史。1898年收入《古今算學叢書》，為第二次印刷。1936年又分別被收入《叢書集成初編》和《國學基本叢書》出版，流傳甚廣。目前還有十幾種抄本傳世，成為學者研討時的珍品。
《數書九章》共列算題81問，分為9類，每類9個問題。主要內容如下：
數書九章
全書採用問題集的形式，並不按數學方法來分類。題文也不只談數學，還涉及自然現象和社會生活，成為了解當時社會政治和經濟生活的重要參考文獻。
《數書九章》在數學內容上頗多創新。中國算籌式記數法及其演算式在此得以完整保存；自然數、分數、小數、負數都有專條論述，還第一次用小數表示無理根的近似值；卷1大衍類中靈活運用最大公約數和最小公倍數，並首創連環求等，藉以求幾個數的最小公倍數；在《孫子算經》中“物不知數”問題的基礎上總結成大衍求一術，使一次同餘式組的解法規格化、程序化，比西方高斯創用的同類方法早500多年，被公認為“中國剩餘定理”；卷17市物類給出完整的方程術演算實錄，書中還繼賈憲增乘開方法進而作正負開方術，使之可以對任意次方程的有理根或無理根來求解，比19世紀英國霍納的同類方法早500多年；書中卷5田域類所列三斜求積公式與公元1世紀希臘海倫給出的公式殊途同歸；卷7、卷8測望類又使《海島算經》中的測望之術發揚光大，再添光彩。
《數書九章》是對《九章算術》的繼承和發展，概括了宋元時期中國傳統數學的主要成就，標誌著中國古代數學的高峰。當它還是抄本時就先後被收入《永樂大典》和《四庫全書》。1842年第一次印刷后即在中國民間廣泛流傳。秦九韶所創造的正負開方術和大衍求一術長期以來影響著中國數學的研究方向。焦循、李銳、張敦仁、駱騰鳳、時曰醇、黃宗憲等數學家的著述都是在《數書九章》的直接或間接影響下完成的。秦九韶的成就也代表了中世紀世界數學發展的主流與最高水平，在世界數學史上佔有崇高的地位。
（2005-7-13) 查有梁
秦九韶為《數書九章》寫的“序”，是一篇數學與語文高水平整合的傑作。如果我們要編一本《中華科技古文觀止》，那麼，《數書九章·序》是必選的名著。我們要理解《數書九章》，不可不認真研讀秦九韶自己為此書寫的原序。只有認真研讀了《數書九章·序》，才能從整體上把握秦九韶的數學觀及其方法論。
這裡先展出《數書九章·序》的全部原文，讀者首先從原序中品味秦九韶的文采，再領會其中深邃的哲理。可能有些句子人們不甚了解，這也沒有關係。多讀幾遍，其義自見。《數書九章·序》的前半部是“文”，後半部是“詩”。我同樣先按文的形式，后照詩的形式，意譯這篇傑作，也許有助於讀者理解秦九韶的原序。我的譯文，只是嘗試，僅供參考。奇文共欣賞，疑義相與析。
周教六藝，數實成之。學士大夫，所從來尚矣。其用本太虛生一，而周流無窮，大則可以通神明，順性命；小則可以經世務，類萬物，詎容以淺近窺哉?若昔推策以迎日，定律而知氣。髀矩浚川，土圭度晷。天地之大，囿焉而不能外，況其間總總者乎？爰自河圖、洛書，闓發礻必奧，八卦、九疇，錯綜精微；極而至於大衍、皇極之用。而人事之變無不該，鬼神之情莫能隱矣。聖人神之，言而遺其粗；常人昧之，由而莫之覺。要其歸，則數與道非二本也。漢去古未遠，有張蒼、許商、乘馬延年、耿壽昌、鄭〔元〕、張衡、劉洪之倫，或明天道，而法傳於后；或計功策，而效驗於時。後世學者自高，鄙不之講，此學殆絕，惟治歷疇人，能為乘除，而弗通於開方衍變。若官府會事，則府史一二系之。算家位置，素所不識，上之人亦委而聽焉。持算者惟若人，則鄙之也宜矣。嗚呼！樂有制氏，僅記鏗鏘，而謂與天地同和者止於是，可乎？今數術之書，尚三十餘家。天象歷度，謂之綴術；太乙、壬、甲，謂之三式，皆曰內算，言其秘也。九章所載，即周官九數，繫於方圓者為蚩術，皆曰外算，對內而言也。其用相通，不可岐二。獨大衍法不載九章，未有能推之者，歷家演法頗用之，以為方程者誤也。且天下之事多矣，古之人先事而計，計定而行。仰觀俯察，人謀鬼謀，無所不用其謹，是以不愆於成，載籍章章可覆也。後世興事造始，鮮能考度，浸浸乎天紀人事餚殳缺矣。可不求其故哉?九韶愚陋，不閑於藝。然早歲侍親中都，因得訪習於太史，又嘗從隱君子受數學。際時狄患，歷歲遙塞，不自意全於矢石間。嘗險罹憂，荏苒十祀，心槁氣落，信知夫物莫不有數也。乃肆意其間，旁諏方能，探索杳渺，粗若有得焉。所謂通神明，順性命，固膚末於見；若其小者，竊嘗設為問答，以擬於用。積多而惜其棄，因取八十一題，厘為九類，立術具草，間以圖發之。恐或可備博學多識君子之餘觀，曲藝可遂也。原進之於道，倘曰，藝成而下，是惟疇人府史流也，烏足盡天下之用，亦無瞢焉。
時淳佑七年九月魯郡秦九韶敘。且系之曰：
崑崙磅礴，道本虛一。
聖有大衍，微寓於易。
奇余取策，群數皆捐。
衍而究之，探隱知原。
數術之傳，以實為體。
其書九章，惟茲弗紀。
歷家雖用，用而不知。
小試經世，姑推所為。
述大衍第一。
七精四穹，人事之紀。
追綴而求，宵星晝晷。
歷久則疏，性智能革。
不尋天道，模襲何益。
三農務穡，厥施自天。
以滋以生，雨膏雪零。
司牧閔焉，尺寸驗之。
積以器移，憂喜皆非。
述天時第二。
魁隗粒民，甄度四海。
蒼姬井之，仁政攸在。
代遠庶蕃，墾菑日廣。
步度庀賦，版圖是掌。
方圓異狀，斜窳殊形。
蚩術精微，孰究厥真。
差之毫厘，謬乃千百。
公私共弊，蓋謹其籍。
述田域第三。
莫高匪山，莫浚匪川。
神禹奠之，積矩攸傳。
智創巧述，重差夕桀。
求之既詳，揆之罔越。
崇深廣遠，度則靡容。
形格勢禁，寇壘仇墉。
欲知其數，先望以表。
因差施術，坐悉微渺。
述測望第四。
邦國之賦，以待百事。
田亥田經入，取之有度。
未免力役，先商厥功。
以衰以率，勞逸乃同。
漢猶近古，稅租以算。
調均錢穀，河菑之扦。
惟仁隱民，猶已溺飢。
賦役不均，寧得勿思。
述賦役第五。
物等斂賦，式時府庾。
粒粟寸絲，褐夫紅女。
商征邊糴，後世多端。
吏緣為欺，上下俱殫。
我聞理財，如智治水。
澄源浚流，維其深矣。
彼昧弗察，慘急煩刑。
去理益遠，吁嗟不仁。
述錢穀第六。
斯城斯池，乃棟乃宇。
宅生寄命，以保以聚。
鴻功雉制，竹個木章。
匪究匪度，財蠹力傷。
圍蔡而栽，如子西素。
匠計靈台，俾漢文懼。
惟武圖功，惟儉昭德。
有國有家，茲焉取則。
述營建第七。
天生五材，兵去未可。
不教而戰，維上之過。
堂堂之陣，鵝鸛為行。
營應規矩，其將莫當。
師中之吉，惟智仁勇。
夜算軍書，先計攸重。
我聞在昔，輕則寡謀。
殄民以幸，亦孔之憂。
述軍旅第八。
日中而市，萬民所資。
滯財役貧，封君低首。
逐末兼并，非國之厚。
述市易第九。
周代的教育內容有“六藝”（禮、樂、射、御、書、數），數學是其中之一。學者和官員們，歷來重視、崇尚這門學問。為了應用，人們要認識世界的規律，因而產生了數學。數學具有廣泛的應用性。從大的方面說，數學可以認識自然，理解人生；從小的方面說，數學可以經營事務，分類萬物。難道容許將數學視為一門淺近的學問嗎?
過去，歷算家們用籌算推演，制定天文曆法；發現自然規律，預測季節變化。用“髀”、“矩”測山高河深，用“圭表”量日影，以定時刻與節氣。宇宙如此之大，尚且不能置於數學之外，那麼，宇宙之中的各種各樣的事物，難道能離開數學嗎？
自從“河圖”、“洛書”，開創發現數學的奧秘；《周易》“八卦”、《九章算術》，在解決錯綜複雜問題時，顯示了數學的精妙細微；“大衍術”在曆法計算，以及解諸多問題中的應用，使數學的精微作用發揮到了極大。數學對於認識人世間各類事物的變化，無所不包。自然界中物質運動的聚散，也不能隱匿於數學之外。古代的聖賢學者很高明，了解許多數學的精微之處，留下的文學卻十分簡略，使一般人難於明白，難於領悟其中之奧秘。探究其原因，是因為“數學”與“哲學”同樣深奧，本質一致，並不是兩回事。
漢代離上古並不很遠，但有張蒼、許商、乘馬延年、耿壽昌、鄭興、鄭眾、張衡、劉洪等一批數學家和歷算家，他們之中，有的精通天文曆法，將算理演演算法傳於後世；有的長於用籌運算，計算結果當時就能得到檢驗。
後世的一些學者，把自己看得太高，鄙視前人的成就，不虛心學習，不繼承發展，使數學這門學問中，有的內容幾乎斷絕失傳。只有懂曆法的歷算家們，會乘除運算，但對高深的“開方術”、“大衍術”，就不通曉了。他們認為，官府的會計事務，只需少數人懂得加減計算就行了。數學家的地位和作用，而今，從不被人們所認識，當權人士對此狀況，也聽之任之。算學家只當作工具使用，數學這門學問遭到鄙視，也就理所當然了。
可悲啊！這就猶如製造樂器的人，僅僅只能撥弄出樂器的聲音，就說這是與天下的知音者一道，奏出了美妙悅耳的樂章，難道能夠這樣說嗎?
當今數學之書，計有三十餘家。天象曆法的計算方法，稱之為“綴術”（“逼近之術”）；應用於占卜術中的計算有“太乙、六壬、遁甲”，稱之為“三式”，這些都統稱為“內算”，它們的演演算法是保密的，內傳而不外傳。《九章算術》所載的內容，就是《周禮》中的“九數”（《九章算術》的九章是：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股）；有關測量方位、地形之高、深、遠、近的方法，稱為“直術”，這些都統稱為“外算”，它們的演演算法是公開的。“外算”是相對於“內算”而言的。“外算”與“內算”在應用上是彼此相通的，不應該視為兩種截然不同的演演算法。
唯獨“大衍術”，沒有載於《九章算術》之中。沒有見到有人，能將“大衍術”的演演算法程序推演出來。歷算家在制定曆法時，應用“大衍術”進行計算的頗多，如果以為它是“方程術”，那就謬誤了。
宇宙人世間的事情太多了，古代的人為解決某一問題，先進行策劃，再確定方法程序，然後按程序實施行動。他們仰觀天文，俯察地理，應用感官，應用直覺，謹慎地採用各種方法。為了讓他們取得的成果不致被埋沒，便使用文字將這些成果記載下來，一代一代流傳後世。
後人在做事時，往往從頭開始，很少考慮前人已有的成果，漸漸地在解決自然和人事的諸多問題時，就混亂不堪，缺少根據。我們為什麼不可以對前人的成果，多多研究一番呢?
九韶愚昧，才疏識陋，但對學習“六藝”，卻不曾偷閑。我在青少年時代曾隨父親到過都城（臨安，南宋京城，今杭州市），因此有機會訪問國家天文台的歷算家，向他們學習歷算。此外，我還從隱居的學者那裡學習數學。那時，元人軍隊入侵四川，長年路途阻塞，自己不得不長期處於戰亂之中。嘗盡艱險，歷經憂患，就這樣輾轉渡過了十年光陰，使人心力枯竭，元氣失落。
但我堅信，世間萬物都與數學相關。於是，我很有興趣地鑽在數學之中，向學者、能人求教，深入探索數學之精微，初步取得一些成果。對於數學的大的方面，認識自然，理解人生，我並沒有什麼發現；但在數學的小的方面，對於經營事務，分類萬物，卻有所得，我嘗試以問答形式，擬出若干應用問題。歷經多年，積累漸增，我怕一旦丟失甚為可惜，於是就取八十一個問題，分為九類，寫出解題方法及運算程序，有的問題還在其中作圖以示之。
我的這些成果，或許可供博學多識的學人閑暇之時品賞，這便達到了本書的目的，我也心滿意足了。我原本要把數學提升到哲理（道）的高度，實在難以做到。如果有人說：這些數學成果，僅僅不過是歷算學家們流傳下來的東西，不能滿足社會廣泛的實際需要。我相信，這也不會使本書黯然失色。
南宋淳佑七年（公元1247年）九月魯群秦九韶序且附詩九首：
巍巍崑崙，氣勢磅礴，
世界本原，在於數學。
聖人發現推算曆法的大衍術，
大衍微妙之處源於《周易》。取奇數的竹棍進行運演，
一分為二，捨去模的倍數。
用“大衍術”，解出未知數，
要深入探索奧秘，方知原由。數學這門學問的發生髮展，
要依靠實際應用作出判斷。
我這裡著有《數書九章》，
首先就記載大衍術之原理。歷算家雖然知道如何計算，
卻不知這些演演算法之所以然。
我嘗試作出解釋，讓人明白，
姑且看一看由特殊推廣到一般。此章稱為“大衍”，列為第一。
七大行星，蒼穹迴旋，
世間諸事，變化多端。
用“綴術”逼近天體運動，
白天日影測，夜裡星象觀。曆法用久了，誤差就增大，
歷算家就得改革舊曆。
如果不實際去觀測天體，
沿襲舊的模式絕對無益。平原山川的農民耕種收穫，
全靠大自然的風調雨順。
陽光雨露，莊稼滋生，
雨水淋淋，雪水潤潤。農業官員憂心著氣象天文，
下了多少雨?用器皿測量。
積滿了水再換上一個器皿，
有時測之憂，有時測之喜。此章稱為“天時”，列為第二。
百姓雖小，當放首位，
審時度勢，以觀世界。
蒼老的婦女生活有保障，
這就是施行仁政之所在。歷史一朝朝，人口一代代，
開墾的土地，一天天增多。
需要量度田畝，整治賦稅，
重要的是精確進行測量統計。田地形狀，方圓各異，
有斜、有正、有高、有低。
測量技術，內容精深，
潛心研究，方能辨明。測量之時，差之毫厘，
最後結果，謬之千里。
於公於私，皆是大弊，
徵收賦稅理當仔細又仔細。此章稱為“田域”，列為第三。
山之不高，莫稱高山，
水之不深，莫稱大川。
大禹治水時，測定山川，
使用的矩尺才得以後傳。智慧的創造，巧妙的論述，
用“重差術”進行測算。
求解之法，詳盡而又周全，
測量的對象總是變化多端。又高、又深、又廣、又遠，
進行測量決不是容易簡單。
有時是形勢險要，進之不去，
有時是敵方營壘，不能著邊。要求出未知數，怎麼辦?
先後兩次用“表”測量。
用兩次測量之差進行計算，
遠離其境也可知高深廣遠。此章稱為“測望”，列為第四。
國家規定，徵收賦稅，
民間百事，正待興辦。
要依據田畝人口的多少，
取之有度必須進行測算。徭役雖然可以不免，
但應事先商量和計算。
應用比例分配要恰當，
賦稅徭役要均勻承擔。漢代距古代並不太遠，
他們按田畝比例收稅。
協調均衡收的谷與錢，
用以抵禦災害，防洪抗旱。當官的要施仁政，為民著想，
設身處地，猶如自己挨餓受災。
如果賦稅徭役分配不均，
難道能讓人心安理得嗎?將此章稱“賦役”，列為第五。
納糧上稅，要看等級，
糧食入庫，要看時節。
一粒粒粟，一寸寸絲，
都是男男女女的勞動所得。官府要向人民征糧收稅，
後世的腐敗之風頻頻發生。
達官貴人相互攀緣，欺榨百姓，
這些大小貪官污吏，用盡心機。我曾聽說治理財政，
理當猶如智者治水。
正本清源，有條不亂，
治標治本，消除隱患。那些愚蠢貪官視而不見，
人民悲慘，還用刑不斷。
這是離開理智愈來愈遠，
為官不仁啊！可嘆可嘆！此章稱為“錢穀”，列為第六。
如此房屋，如此城牆，
國家棟樑，社會保障。
百姓居住的地方，
財富聚散的市場。城市建築作用巨大，
一定要制定好規劃。
如果策劃與營造，不合章法，
就會勞民傷財，浪費很大。楚昭王圍困蔡國時堅木築牆，
這是採納了子西的建議。
漢代工匠設計天文觀象台，
漢文帝也擔憂造價太昂貴。唯有武力才能爭奪戰功，
唯有節儉才能生財積德。
國家太平，家庭才有安全，
而今我們從哪裡取得規範?此章稱為“營建”，列為第七章。
自然界有金木水土火，
金屬兵器，非有不可。
士兵不訓練就去打仗，
這是上級的嚴重過錯。威威陣容，嚴嚴步履，
應以鵝鸛行列為楷模。
軍營布陣，當有規矩，
這是將軍們的職責。軍隊打仗要取得勝利，
依靠官兵的智、仁、勇。
夜讀兵書，重在領悟，
首先就要講究謀略。我聽說在過去的戰例中，
輕敵，就會缺智寡謀，
僥倖，就會失敗害民，
這不是一孔之見的擔憂。此章稱為“軍旅”，列為第八。
太陽東升，市場熱鬧，
萬民生計，買賣依靠。
商人貿易才能積累財富，
一分一毫他們都會計較。為富不仁者奴役貧民百姓，
封疆大吏們卻要點頭稱好。
舍本求末，兼并財富，
這並非合理的治國之道。此章稱為“市易”，列為第九。
