綴術

《綴術》是祖沖之所作，還是祖暅之所作，中國數學史界至今沒有定論，在可以預見的將來，也不可能有定論。不過，有兩點是可以肯定的：一，它是祖沖之父子的著作。二，它是中國自漢魏至隋唐水平最高的數學著作。李淳風高度評價了祖沖之的數學貢獻，認為“指要精密，算氏之最者也”。他所著的《綴術》，因“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”。【1】遂失傳。稍前於李淳風的王孝通卻對《綴術》橫加指責，他說：“其祖暅之《綴術》，時人稱之精妙，曾不覺方邑進行之術全錯不通，芻亭【2】、方亭之間，於理未盡。”【3】那麼，到底是《綴術》“全錯不通”，還是王孝通“莫能究其深奧”？這一問題雖未引起廣泛的討論，學術界卻一直有不同的看法。筆者認為：“王孝通對綴術的指責表明王氏不能理解祖家父子的數學創造，而不是相反。”【4】然而，當時對這種看法的理由說得不充分，現闡述如下。

首先，考察中國傳統數學的發展脈絡。隋唐雖然是盛世，數學上也有設立算學館，整理算經十書等舉措，但除在天文曆法的計算中先後使用了等間距和不等間距內插法外，幾無創造。它在數學成就與數學理論上，不僅遠低於後來的宋元，而且遠低於前此的魏晉南北朝。人們往往只注意明朝數學的落後——它適逢西方文藝復興前後，西方數學崛起，隨後是變數數學的產生，中國從此失去了數學大國的地位，以至於700年後的今天，還沒有完全翻過身來，容易引起重視，而同時，卻忽視了盛唐數學的落後。因為一方面宋元數學的高潮掩蓋了在它前面曾經出現過的低潮，另一方面設立算學館、明算科，整理算經十書等舉措給人以繁榮的假象；同時，人們也不容易將盛世與數學這一重要學科落後聯繫起來；甚至乾嘉時期人們還認為數學“顯於唐，晦於宋”。【5】實際上，隋唐時期沒有出現過一位可以與其前劉徽、祖沖之，其後賈憲、秦九韶、李冶、朱世傑等比肩的數學家，也沒有創作過一部可以與其前《九章算術》、《九章算術注》、《綴術》，其後《黃帝九章算經細草》、《數書九章》、《測圓海鏡》、《詳解九章演演算法》、《算學啟蒙》、《四元玉鑒》等等量齊觀的數學著作。王孝通的《緝古算經》在解決土木工程中的數學問題上有所推進，其主要貢獻是三次方程。而據錢寶琮考證，祖沖之已能解負係數三次方程，【6】比王孝通還高明。李淳風等整理十部算經，很有貢獻，然而，除《周髀算經註釋》比趙爽注有所推進外，他們對其他算經的註釋，意義都不大。尤其是對《九章算術》的註釋，從整體上講，無論是數學成就還是數學理論，都是遠遠低於劉徽注的作品。【7】應該說，王孝通、李淳風是唐朝最有名的兩位數學家．他們尚且如此，遑論其他。事實上，李淳風已經發現隋和唐初的數學不如前代，直言當時的算學館學官（相當於今天的重點大學數學系教授）對《綴術》“莫能究其深奧，是故廢而不理”。這一狀況的直接後果是造成《綴術》失傳的悲劇。《綴術》列入算學館教材。但是，是不是實施了教學活動，我很懷疑。教師都不懂，怎樣教學生？只好“廢而不理”。此語出自一位當時的大數學家，應該是可信的。《唐六典》等史書反映的只是官方文件，而官方文件總不會百分之百的被實行的，任何社會都是這樣，唐初也不會例外。順便說一下《綴術》的失傳問題。筆者認為，《綴術》的失傳不是在宋初，而是在唐初之後，很可能在安史之亂時。當時沒有印刷術，《綴術》只有幾個抄本，被廢而不理，是很難流傳下來的，特別，經不起大的全國性的戰亂。在安史之亂之後，又有唐末的大戰亂和五代十國的紛爭。無論如何，是流傳不到宋初的。史書說楚衍“於《九章》、《緝古》、《綴術》、《海島》諸算經尤得其妙”，【8】只不過是史家信筆書來，並不是完全靠得住的。楚衍是宋初天算家的領袖，賈憲的老師，天聖初（1023）與宋行古等制《崇天歷》，皇佑（1049~1053）中造《司晨星漏歷》，後來與周琮同管司天監。可見，最遲在11世紀50年代，楚衍還積極地從事科學活動。宋朝從建國到整個11世紀，沒有發生過大的社會動亂或打擊文化人的活動，如果楚衍還看到過《綴術》，那麼，不到30年後的元豐七年（1084）秘書省刻十部算經時，不會找不到《綴術》而付之闕如。總之，是隋唐數學的落後，導致了《綴術》的失傳。

其次，與第一點相聯繫的，我們考察一下李淳風、王孝通對劉徽、祖沖之父子的指責。先看李淳風等對劉徽的指責，主要有三處。第一處是《九章算術》方田章方田術註釋中，李淳風等針對劉徽注關於“凡廣從相乘謂之冪”的定義，一方面說“觀斯注意，積冪義同”；一方面又由冪字的本義，說“循名責實，二者全殊”，指責劉徽關於冪的定義“全乖積步之本義”，表示要“存善去非，略為料簡，遺諸後學”。【9】這種指責是沒有道理的。《九章算術》沒有冪的概念，它所使用的積，既可以是面積，又可以是體積。劉徽則在積中劃出廣從相乘這一種，稱為冪，也就是現在所說的面積。顯然，冪是積的一種。換言之，冪是積，而積不一定是冪。在邏輯上，冪是種，積是屬，廣從相乘是種差。劉徽關於冪的定義符合邏輯學中定義等於屬加種差的要求，是十分嚴謹的。李淳風既看不出積、冪的相同之處，又看不出它們的區別，指責正確的劉徽，恰恰暴露了自己邏輯修養和數學水平的低下，起碼遠遠低於劉徽。【10】

第二處是方田章圓田術註釋，李淳風等說，對周三徑一，“劉徽將以為疏，遂乃改張其率。但周、徑相乘，數難契合。徽雖出斯二法，終不能究其纖毫也。祖沖之以其不精，就中更推其數。今者修撰，捃摭諸家，考其是非，沖之為密。故顯之於徽術之下，冀學者之所裁焉。”【11】李淳風等表彰祖沖之求圓周率的成績是完全正確的，然而貶斥劉徽則是十分錯誤的。祖沖之與劉徽，沒有是與非的問題，只有圓周率精確度的問題。在中國數學史上，是劉徽首先創造了在正確的數學理論基礎之上的求圓周率的程序。科學的理論、正確的方法的建立，其意義遠比它們的應用重要。祖沖之求圓周率的程序沒有流傳下來，比較可靠的看法是，他使用了劉徽的方法，而在計算上更加精確。錢寶琮指出：“李淳風缺少歷史發展的認識，有意輕視劉徽割圓術的偉大意義，徒然暴露他們自己的無知。”【12】錢寶琮的看法非常中肯。李淳風不懂劉徽證明圓面積公式時所使用的無窮小分割方法和極限思想。

第三處在少廣章開立圓術註釋中，李淳風等在引用祖暅之的開立圓術之前說：“祖暅之謂劉徽、張衡二人皆以圓qun為方率，丸為圓率。”在引用了祖氏開立圓術之後說：“張衡放舊，貽哂於後。劉徽循故，未暇校新。夫其難哉，抑未之思也。”【13】這裡的所謂“祖暅之謂”恐是李淳風等未準確反映祖氏的意思。劉徽否定了《九章算術》的開立圓術，設計了牟合方蓋，提出球與方蓋的體積之比為 π∶4 這一正確的論斷，指出了解決球體積的正確途徑。劉徽未能求出牟合方蓋的體積，實事求是地記下了自己的困惑，並寄希望於後學，表示“以俟能言者”，【14】表現了一位真正的科學家的寬廣胸懷。劉徽多次闡發並應用了截面積原理，為祖暅之原理的最後完成作了充分準備。【15】劉徽還批評了張衡開立圓術“欲協其陰陽奇偶之說而不顧疏密”【16】的錯誤。祖氏父子繼承劉徽的工作，提出祖暅之原理，求出了牟合方蓋的體積，最終解決了球體積問題。以祖沖之父子之實事求是和嚴謹的學風，是不可能在開立圓術問題上將劉徽與張衡等量齊觀，並且指責劉徽與張衡一樣“以圓qun為方率，丸為圓率”的。顯然是李淳風等以自己的思想篡改了祖氏的意思。在這裡，李淳風等同樣不理解劉徽推翻《九章算術》開立圓術，設計牟合方蓋的重大理論意義和實踐意義。

總之，李淳風等對劉徽的三處指責，正確的都是劉徽，錯誤的都是李淳風等，反映出李淳風等無法理解劉徽的無窮小分割方法和極限思想，反映出李淳風等的理論水平和邏輯修養遠遠在劉徽之下。

我們再分析王孝通對劉徽和祖沖之父子的評價。比較起來，王孝通對劉徽比對祖沖之父子客氣一些。他說：“魏朝劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更為之注。徽思極毫芒，觸類增長，乃造重差之法，列於終篇。雖即未為司南，然亦一時獨步。”【17】王孝通沒有挑出劉徽什麼毛病，卻只把劉徽看成一個“思極毫芒”的聰明人，稱劉徽為魏晉數學的“獨步”，但其思想和方法又不能成為數學家的指南。要求王孝通像我們一樣認識劉徽的業績，是強人所難。因為，即使劉徽本人對自己的思想和成就在中國數學史上的地位，也不會有我們這麼清楚。不過，王孝通沒有理解劉徽的數學思想和成就的精髓，尤其是沒有理解他的無窮小分割方法和極限思想，則是無疑的。他貶斥了以往幾乎所有的數學家，而沒有被貶斥的劉徽又不能成為“司南”，言外之意，只有他自己才有資格做“司南”。這種居高臨下，以為自己比劉徽高明的態度，當然是我們不能接受的。

王孝通對祖沖之父子的指責在前面已引出。在王孝通看來，《綴術》是有嚴重錯誤的。由於《綴術》失傳，人們難以拿出確鑿的證據證明王說之不確。但是，我們可以從側面，從對祖沖之父子的其他著作的分析中推翻王孝通的看法。流傳到今天的完整的祖沖之的著作，只有關於《大明曆》的《上大明曆表》、《大明曆法》和《大明曆議》（今常稱為《駁議》），而祖暅之的著作則只有開立圓術等片段。這些著作的共同特點是實事求是，言之有據，推理嚴謹，邏輯清楚，沒有空穴來風，或者數字神秘主義的東西。按照我們今天的認識水平，可以批評他們的論述這裡不足，那裡有局限性，但是，按照南北朝時代人們的認識水平，卻難以發現什麼錯誤。中國古代的數學家和天文學家的著作中，大都存在或多或少的錯誤，或者數字神秘主義的內容。劉徽和祖沖之父子大約是錯誤最少的。劉徽的《九章算術注》除圖之外，被完整地保存了下來。遍查整個劉徽注，除反駁《九章算術》宛田術時，有一個推理失誤【18】外，沒有發現任何錯誤。錢寶琮詞曰：“誰是劉徽私淑？都說祖家父子，成就最輝煌。”【19】祖沖之父子除了繼承劉徽求圓周率和求體積的工作外，他們實事求是的科學態度，“知之為知之，不知為不知”的嚴謹學風，縝密的邏輯推理，以及不迷信古人，敢於創新的進取精神，都是與劉徽相通的。因此，《綴術》儘管已失傳，無法了解它的具體內容，但是，可以肯定地說，除了其成就比劉徽更大，理論更深刻外，其嚴謹、縝密方面，應該與劉徽的《九章算術注》大體相當。就是說，《綴術》可能有“於理未盡”的地方，但是，不會有“全錯不通”的內容。我們認為，是王孝通“莫能究其深奧”，又過於自負，才說它“全錯不通”。上面已經指出，雖然劉徽《九章算術注》未失傳，但王孝通、李淳風等只能理解其中通俗的內容，無法理解其高深的內容和嚴密的邏輯，更無法理解其無窮小分割方法和極限思想。事實上，唐初以降，一千多年間，人們一直未理解劉徽的這些貢獻，而其中幾個無窮小分割和極限過程，是20世紀才搞清楚的，有的延宕至70年代末80年代初才弄明白。只是它與《九章算術》一體行世才未失傳。我們可以設想，如果《綴術》在劉徽的無窮小分割思想和極限思想的基礎上再向前邁一步，哪怕是一小步，那麼，王孝通、李淳風和當時的學官們是無論如何也理解不了的。筆者認為，這也許是“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”，導致《綴術》失傳的根本原因；也是王孝通指責他“全錯不通”的根本原因。

第三，在學術品格上，王孝通是與劉徽和祖沖之父子根本相反的。前已指出，劉徽、祖沖之父子既不迷信古人，敢於創新，又謙虛謹慎，虛懷若谷，寄希望於後學。而王孝通呢，他對劉徽、祖沖之父子的輕視、貶低，一如前述。對他人呢，在評論劉徽和祖暅之之間，他說：“賀循、徐岳之徒，王彪、甄鸞之輩，會通之數無聞焉耳。但舊經殘駁，尚有闕漏。自劉（徽）以下，更不足言。”【20】可以說是全盤否定，一片漆黑。就是說，對他以前的數學家，除表彰《九章算術》的成就，客觀敘述張蒼刪補的事實，有保留地肯定劉徽之外，一無是處。這種虛無主義的態度，在古算經的序言中，是絕無僅有的。

王孝通對自己是怎樣評價呢？他自述說：“鑽尋秘奧，曲盡無遺。代乏知音，終成寡和。”對自己的《緝古算經》，他要求皇上“請訪能算之人，考論得失。如有派其一字者，臣欲謝以千金。”【21】就是說，他的工作已經盡善盡美，天衣無縫了，同代人無法與之唱和。其故步自封，狂妄之態可掬。焦循評論說：“劉氏之（《九章算術》）注，極精至巧，令而通之，已足括孕此書（《緝古算經》）。且以其義核王氏之術，可排者正不止一字。”【22】有的學者認為提出“千金排其一字”，反映了王孝通嚴謹的學風，對此，筆者不敢苟同。

王孝通怎樣看待後學呢？他在描述自己寫《緝古算經》的心情時說：“臣晝思夜想，臨書浩嘆，恐一旦瞑目，將來莫睹。” 【23】《緝古算經》第1問的數學計算並不複雜，王孝通說：“臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐後代無人知者。” 【24】將自己的知識貢獻給社會，是學者的責任。但是，以為只有自己才能達到最高峰，後來人不可能達到、更不可能超過自己的水平，與劉徽“以俟能言者”的精神境界形成了鮮明的對照，徒然暴露了自己目空一切的心態。

王孝通在天文曆法上是保守的，在數學方面，對三次方程的解法有貢獻。但是，據錢寶琮考證，祖沖之已能解負係數三次方程。【25】總之，王孝通貶低前輩，蔑視同輩，輕視後輩，以為自己是前無古人，後無來者。一個科學家不必做謙謙君子，但也不能狂妄到如此地步。在這種心態支配下，不是不能做一些創造性的工作，然而，一般說來，不可能做出像劉徽、祖沖之那樣水平的工作來。正是在這種目空一切的心態支配下，王孝通對自己不懂的東西，不是去虛心學習，認真研究，而是斥之以“全錯不通”。實際上，王孝通的數學成就和理論水平不僅比劉徽、祖沖之差得遠，《緝古算經》的編纂思想甚至不如《九章算術》的主體部分。【26】

看不懂前人的東西，而指斥前人有錯，在中國數學史上不乏其例。明朝數學家顧應祥看不懂元朝李冶《測圓海鏡》中的天元術，謂李冶“止以天元一互算而漫無下手之處”，【27】著《測圓海鏡分類釋術》，買櫝還珠，將天元術盡行刪除，貽千古不知而作之譏。筆者認為，王孝通對《綴術》的指責，類似於顧應祥與《測圓海鏡》的關係。如果有一天《綴術》重新面世，那麼，王孝通在中國數學史上的地位不會比顧應祥高。

此書為數學方面，而《天工開物》為明代宋應星所著的關於明代農業和手工業方面的書。因此此書與《天工開物》不屬於同一領域。