祖暅

祖暅[gèng]，又名祖暅之，字景爍，是我國南北朝時代南朝的數學家、科學家祖沖之的兒子。

歷任太府卿等職。受家庭的影響，尤其是父親的影響，他從小就熱愛科學，對數學具有特別濃厚的興趣，祖沖之在462年編製《大明曆》就是在祖暅三次建議的基礎上完成的。《綴術》一書經學者們考證，有些條目就是祖暅所作。祖暅終生讀書專心致志，因走路時思考問題所以鬧出了許多笑話。祖暅原理是關於球體體積的計算方法，這是祖暅一生最有代表性的發現。

祖沖之去世后，他在梁朝天監三年（公元504年）、八年、九年先後三次上書，建議採用他父親編製的《大明曆》，終於使父親的遺願得以實現。

祖暅的主要工作是修補編輯他父親的數學著作《綴術》。他運用祖暅原理和由他創造的開立圓術，發展了他父親的研究成果，巧妙地證得球的體積公式。他求得這一公式比義大利數學家卡瓦列利（Bonaventura Cavalieri，1589年—1647年）至少要早1100年。

祖暅還有不少其他科學發現，例如肯定北極星並非真正在北天極，而要偏 離一度多等等。算得這些結果，同他豐富的數學知識是分不開的。

由於家學淵源，祖暅從小也鑽研數學。祖暅之有巧思入神之妙，當他讀書思考時，十分專一，即使有雷霆之聲，他也聽不到。有一次，他邊走路邊思考數學問題，走著走著，竟然撞了對面過來的僕射徐勉。“僕射”是很高的官，徐勉是朝廷要人，倒被這位年輕小子碰得夠戧，不禁大叫起來。這時祖暅之方才醒悟。梁朝與北魏打仗，失敗，祖暅之被魏方扣留，安排住進了驛站，很受優待。

祖暅還結識了一位天文學的愛好者信都芳，兩人常常在一起研討天文、數學，十分投機。祖暅之把自己的學問毫無保留地教給信都芳，使他有很大進步。祖暅之在科學上也取得了重大成就，《大明曆》就是由於他的建議，才被梁朝採用。有的記載說，《綴術》有他的研究成果。他首次得出計算球體體積的公式，雖然比阿基米德晚了將近千年，但由於是與其父祖沖之運用獨創的方法得出的，也不失是一種智慧結晶。他還研製了銅日圭、漏壺等精密觀測儀器多種。祖暅之的兒子祖皓，續傳家學，後來也成了數學家。

祖暅將數學知識傳給了信都芳、毛棲成和自己的兒子祖皓，他們三位後來都成了數學家。

祖暅在梁朝擔任過員外散騎侍郎、太府卿、南康太守、材官將軍、奉朝請等職務。青年時代已對天文學和數學造詣很深，是祖沖之科學事業的繼承人。他的主要貢獻是修補編輯祖沖之的《綴術》，因此可以說《綴術》是他們父子共同完成的數學傑作。《九章算術》少廣章中李淳風注所引述的“祖暅之開立圓術”，詳細記載了祖沖之父子解決球體 積問題的方法。

劉徽註釋《九章算術》時指出球與外切“牟合方蓋”的體積之比為a:4，但他未能求出牟合方蓋的體積。祖沖之父子採用了“冪勢既同，則積不容異”（兩個等高的立體，如在等高處的截面積恆相等，則體積相等）的原理，解決了這一問題，從而給出球體積的正確公式。這一原理後人稱之為“祖暅原理”，在西方，直到17世紀才由義大利數學家卡瓦列利重新發現。

在天文學方面，祖暅曾於504年、509年和510年三次上書建議採用祖沖之的《大明曆》，最後一次終於實現了父親的遺願，《大明曆》被梁武帝天監年間採用頒行。他還親自監造八尺銅表，測量日影長度，並發現了北極星與北天極不動處相差一度有餘，改進過當時通用的計時器——漏壺。著作有《漏刻經》、《天文錄》等，但前者失傳，後者僅存殘篇。

祖暅原理也就是“等積原理”

它是由我國南北朝傑出的數學家、祖沖之的兒子祖暅首先提出來的。祖暅原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行於這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那麼這兩個幾何體的體積相等。

等積原理的發現起源於《九章算術》中的答案是錯誤的。他提出的難方法是取每邊為1寸的正方體棋子八枚，拼成一個邊長為2寸的正方體，在正方體內畫內切圓柱體，再在橫向畫一個同樣的內切圓柱體。這樣兩個圓柱所包含的立體共同部分像兩把上下對稱的傘，劉徽將其取名為“牟合方蓋”。（古時人稱傘為“蓋”，“牟”同侔，意即相合。）根據計算得出球體積是牟合方蓋體的體積的四分之三，可是圓柱體又比牟合方蓋大，但是《九章算術》中得出球的體積是圓柱體體積的四分之三，顯然《九章算術》中的球體積計算公式是錯誤的。劉徽認為只要求出牟合方蓋的體積，就可以求出球的體積。可怎麼也找不出求導牟合方蓋體積的途徑。 200多年後，祖暅出現了，他推導出了著名的“祖暅原理”，根據這一原理就可以求出牟合方蓋的體積，然後再導出球的體積。這一原理主要應用於計算一些複雜幾何體的體積上面。在西方，直到17世紀，才由義大利數學家卡瓦列利發現。於1635年出版的《連續不可分幾何》中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為卡瓦列利原理。其實，他的發現要比我國的祖暅晚1100多年。

祖暅（gèng）原理是指所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等的定理。這個原理很容易理解。取一摞書或一摞紙張堆放在水平桌面上，然後用手推一下以改變其形狀，這時高度沒有改變，每頁紙張的面積也沒有改變，因而這摞書或紙張的體積與變形前相等。祖暅不僅首次明確提出了這一原理，還成功地將其應用到球體積的推算。以長方體體積公式和祖暅原理為基礎，可以求出柱、錐、台、球等的體積。祖暅《綴術》曰：“緣冪勢既同，則積不容異。”祖沖之父子採用這一原理，求出了牟合方蓋的體積，進而算出球體積。在歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列利亦發現相同定理，所以西方文獻一般稱該原理為卡瓦列利原理。

在現代的解析幾何和測度應用中，祖暅原理是富比尼定理中的一個特例。卡瓦列利沒有對這條的嚴謹證明，只發表在1635年的Geometriaindivisibilibu'以及1647年的ExercitationesGeometrica'中，用以證明自己的MethodederIndivisibilie'。以此方式可以計算某些立體的體積，甚至超越了阿基米德和克卜勒的成績。這個定理引發了以面積計算體積的方法並成為了積分發展的一個重要步驟。

如果垂直轉軸切開圓柱體，設為半徑，可以得到橫切面面積為的圓形。根據祖暅原理，圓柱體的體積相等於方形面積相等於圓面積的立方體。

從其中一層以垂直表面的高橫切半徑為的半球體，根據勾股定理，求半徑，橫切面面積。對照立體是一個擁有與半球體相同表面積和高的立體，中間有一個圓錐體。高的對照立體環形切面有內圓周以及外圓周，因此兩個立體都滿足祖暅原理並且有相同體積。對照立體的體積便是圓柱體和圓錐體體積之差，所以成功利用這條有名的方程計算出半球體體積，從而導出球體體積公式。

祖暅原理背後的概念經常出現在微積分中。作為維度的一個例子，因此兩條方程式在兩個交點間的面積可以利用以下方程獲得：:實質上表示了函數圖形和之間的面積與函數圖形下的相同，而後者的交點距離與前者相等。由於現代數學中的積分和面積的互相關係，而體積可以通過微分計算，使祖暅原理變得更為少用。