Wallis公式

Wallis公式

Wallis公式是關於圓周率的無窮乘積的公式,但Wallis公式中只有乘除運算,連開方都不需要,形式上十分簡單。雖然Wallis公式對π的近似計算沒有直接影響,但是在導出Stirling公式中起到了重要作用。

公式內容


Wallis公式是關於圓周率的無窮乘積的公式,公式內容如下:
其中
開方后還可以寫成:

公式證明


Wallis公式
Wallis公式
Wallis公式
Wallis公式
對這一公式的證明採用對 在 的積分完成:
用分部積分法
Wallis公式
Wallis公式
Wallis公式
Wallis公式
由 的單調性推知
即為
變形后得到
由求極限的夾逼準則,得到
即為Wallis公式。

公式的變形


Wallis公式還有一些變形:
從①式可以看出Wallis公式的實質就是刻畫了雙階乘(2n)!!與(2n-1)!!之比的漸近性態。

公式推導關係


積分上下限分別為0和π/2
推導關係
推導關係