橢圓曲面

橢圓曲面就是以橢圓曲線 (虧格的Riemann面) 為一般纖維，具有這種纖維結構的復曲面 (2維緊複流形)。

這一概念正如後面所述對於向高維發展以及對纖維微分拓撲都作出了重要的貢獻。而且小平先生已經指出了這一發展方向。正如橢圓函數論是19世 紀整個數學的源泉，說橢圓曲面為本世紀後半葉整個代數幾何的源泉 (之 一) 也不過分。由此產生的源流通過“弦模型理論”等等而在理論物理學中保持著。

橢圓曲面是小平(在數學的論述部分遵循慣例，直呼其名而不加敬稱) 在關於復曲面的一系列基礎研究的論文集“On compact analytic surfaces”中收錄的第23部分中處理的。該論文的出版是1963年。

一個復曲面S稱為橢圓曲面，如果存在閉Riemann面 C 與復解析的正則映射π：s — c 為滿射。並且除有限個以外，π的纖維是非奇異橢圓曲線 (虧格1 的Riemann面).這 樣的 (π,C) 叫做橢圓的纖維結構。

換言之，存在以C(有限個點)為參數的橢圓曲線族，使S為其全體空間(的緊化)

在C的某點P處，選擇該點周圍的局部參數t使P對應於則π可看作π (0)周圍的正則函數，所以決定上的因子。也就是說不僅是作為集合的π (0)，還有各既約成分上π幾重時為0，即同時考慮其重數。我們就把它稱為P上的纖維，一般的在P上由定義知，纖維為(重數1的)非奇異橢圓曲線。

小平在橢圓曲面論方面最早的定理就是將這纖維完全分類。

定理1：如果允許，則存在。

再有因為D的基本群是無限階循環群，其生成元是沿原點逆時針旋轉一周的軌道，所以其象的矩M(P)∈SL(2、Z)決定，這稱為奇異纖維的單值其共軛類唯一確定。

定理2：非多重的纖維由兩個不變數 J (P )，M(P)(後者是其共軛類) 唯一確定。

根據這些，橢圓曲面的結構及其刻劃幾乎完全給定。

小平之所以首先像這樣詳細研究橢圓曲面是因為在所謂的小平維數l的場台，作為小平纖維化，自然就出現橢圓曲面。再有，代數維數l的曲面自然也為橢圓曲面。無限階的橢圓曲面也不外乎如此。但是橢圓曲面發揮強大威力的則在於對所謂型曲面的研究與K3曲面、En—riques曲面的研究等。此外橢圓曲面在曲面研究中也到處可見並起著重要的作用。與後面所說有重要關係的是與K3曲面有相同同倫型的所謂“同倫K3曲面”的研究。小平證明了這是具有兩個多重纖維的射影直線上的橢圓曲面(mro)但是關於這是否與K3曲面同胚，或者說微分結構是否相同，作為未解決問題得靠以後的研究者了。

橢圓曲面本身在小平之後也有了各種各樣的進展。

最重要的事是1980年代前半期4維拓撲學及微分拓撲學的飛躍進步。特別是有關前者的Friedman的結果與有關後者的Donaldson理論(Donaldson不變數的引入)是決定性的。

前者的結果，單連通復曲面按其2維同調的相交形式幾乎完全決定了拓撲結構。特別是同倫K3曲面與K3曲面同胚。關於與射影平面的9點blow—up有相同同倫型的曲面，飯高與Dolgachev進行了研究，得到具有2條多重纖維的橢圓曲面，它也與原來的blow—up同胚。

對此微分結構方面則根據利用規範理論所定義的Donaldson不變數的汁算，首先知道飯高、Dolgachev曲面的微分結構可能不同(Donaldson1985)。後來證明同倫K3曲面與K3曲面也不是微分同胚的(MorgaslMrowk~1993)。

這裡出現的橢圓曲面上的微分結構有非常深刻的內容，對此，

(1)基曲線的虧格在1以上；

(2)沒有多重纖維；

(3)多重纖維3條以上，在這三個條件任一條件滿足的情形。由

(A)Euler數相等；

(B)基本群同構這種單純的拓撲不變數的條件就可以完全決定。

微分結構(1986之前有松本幸夫等的先行研究)。其它眾多的應該論及的結果有鹽田徹治的Mordell—wen格子理論，金銅誠之的K3曲面的自同構的研究，中山舁在3維流形上橢圓曲線的纖維結構的研究等等。