n階行列式

按照一定的規則，由排成正方形的一組(n個)數(稱為元素)之乘積形成的代數和，稱為n階行列式。

例如，四個數a、b、c、d所排成二階行式記為，它的展開式為。

九個數排成的三階行列式記為，它的展開式為.行列式起源於線性方程組的求解，在數學各分支有廣泛的應用。在代數上，行列式可用來簡化某些表達式，例如表示含較少未知數的線性方程組的解等。

在1683年，日本的關孝和最早提出了行列式的概念及它的展開法。萊布尼茲在1693年(生前未發表)的一封信中，也宣布了他關於行列式的發現。

定義1 n階行列式

等於所有取自不同行不同列的n個元素的乘積

的代數和，這裡 是1,2，...，n的一個排列，每一項都按下列規則帶有符號：當 是偶排列時帶有正號，當 是奇排列時帶有負號。這一定義可寫成

這裡表示對所有n級排列求和，表示排列 的逆序數。

由定義1立即看出，n階行列式是由n! 項組成的。

性質1 行列互換，行列式不變。

性質2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一個數K，等於用數K乘以行列式。

性質3 如果行列式的某行(列）的各元素是兩個元素之和，那麼這個行列式等於兩個行列式的和。

性質4 如果行列式中有兩行（列）相同，那麼行列式為零。（所謂兩行（列）相同就是說兩行（列）的對應元素都相等）

性質5 如果行列式中兩行（列）成比例，那麼行列式為零。

性質6 把一行（列）的倍數加到另一行（列），行列式不變。

性質7 對換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號。

首先給出代數餘子式的定義。

定義2 在行列式

中劃去元素所在的第i行第j列，剩下的個元素按原來的排法構成一個階的行列式，稱M為元素的餘子式，稱為元素的代數餘子式。

定理 設

表示元素代數餘子式，則下列公式成立：

行列式

稱為n級的范德蒙德（Vandermonde）行列式。可以證明：對任意的 n（），n階范德蒙德行列式等於這n個數的所有可能的差的乘積。