數學真理

.數學真理可作狹義和廣義兩種理解。狹義的理解僅局限於數學理論體系內部，指人們的認識正確反映了作為思想事物的純粹的量的形式和關係及其規律；廣義的理解還包括數學理論的實際應用，指人們建立的數學模型正確反映了客觀物質形態的量的形式和關係及其規律.

檢驗數學認識是否具有真理性的惟一的標準，是數學實踐。狹義的數學真理要用純粹數學研究中的實踐來檢驗；廣義的數學真理要用數學應用中的實踐來檢驗。這兩類實踐檢驗不能相混淆。如果用數學應用中的實踐來取代純粹數學研究中的實踐，

把應用中的成功或現實模型的建立等同於對數學理論體系自身的實踐檢驗，把數學真理性等同於獲得某種現實解釋，那就會使數學的發展受實用範圍的束縛，使數學的相對獨立性受到限制，從而破壞純粹數學與應用數學的平衡發展和相互關係. 在現代數學中，由於高度的抽象化、形式化和公理化，

人們常常認為邏輯相容性(無矛盾性)是檢驗數學真理的惟一標準，這是不正確的。邏輯相容性只是檢驗數學真理的間接的標準，只能在局部環節上起作用。邏輯相容性的要求可以保證傳遞真值，但不能確定數學理論體系的原始真值。因為邏輯相容性的要求不能起到保證數學認識符合數學對象的客觀性質及其規律的作用.

只有在數學實踐中，人們的認識才能不斷同客觀的數學規律接近，不斷一認識數學對象的深刻本質，從中確定數學真理。哥德爾不完全性定理的出現，已經從理論上表明，邏輯相容性的要求不可能成為檢驗數學真理的惟一標準. 同其他學科領域的真理一樣，數學真理的發展也要經歷由相對真理向絕對真理不斷接近的過程。在數學史上，

曾長時間以為數學真理是絕對真理，而每一數學分支領域的真理都具有惟一性和絕對不變性.19世紀以後的數學發展表明，即使在同一數學分支內，也可能存在幾種并行不悖的數學真理，它們各有不同的適用範圍。非歐幾里得幾何、非交換和非結合的代數、非康托爾集合論等成果的出現，都表明了數學真理的適用範圍的存在，表明了人們對數學真理認識的相對性. 數學真理和數學公理是既有聯繫又有區別的。按照現代公理學的觀點，

數學公理只是數學理論體系的初始概念之間一些符合邏輯要求的基本關係，是形式系統中作為出發點的基本公式。數學公理包含數學真理的成分，但它不是完全的、絕對的數學真理。數學公理需要在實踐中不斷完善和發展，不可能成為數學發展的一勞永逸的邏輯基礎。