亞純函數

比如有理函數就是在擴充複平面上的亞純函數，它是兩個多項式的商而Q（z）的零點是R（z）的極點，即R（z）有有限多個極點，∞點是R（z）的極點或可去奇點。複平面上不是有理函數的亞純函數稱為超越亞純函數。

例如就是超越亞純函數，它以kπ為全部極點，超越亞純函數一定有無限多個極點。有理函數可以分為部分分式，即其中是R(z)的全部極點，是多項式，當∞點是m階極點時，是m階多項式。

所有的有理函數都是在整個複平面上的亞純函數。

函數和以及Γ函數和黎曼ζ函數都是在整個複平面上的亞純函數。

函數在除去原點：0的整個複平面上有定義。但是，0不是這個函數的一個極點，而是一個本性奇點。因此，這個函數只是在C上的亞純函數，而不是在整個複平面上的亞純函數。

函數不是在整個複平面上的亞純函數，因為它只在複平面上的一個孤立點上有定義。

複平面上的超越亞純函數也有一個部分分式分解定理，f(z)是以為極點集的超越亞純函數，設f(z)在極點ak處羅朗展式的主部為，是一個多項式，於是f(z)可表作：中g(z)是整函數，是適當選取的多項式。對於超越亞純函數有一個類似畢卡定理的結果：f(z)是超越亞純函數，則最多除去兩個例外值外，對所有其他值W，一定有無窮多個零點。

在複分析中，一個複平面的開子集D上的亞純函數是一個在D上除一個孤立點集合之外的區域全純的函數，那些孤立點稱為該函數的極點。這樣的函數有時稱為正則函數或者在D上正則。

每個D上的亞純函數可以表達為兩個全純函數的比（其分母不恆為0）：極點也就是分母的零點。

Image:Gammaabs.png

Γ函數在整個複平面上亞純直觀地講，一個亞純函數是兩個性質很好的（全純）函數的比。這樣的函數本身性質也很“好”，除了分式的分母為零的點，那時函數的值為無窮。

從代數的觀點來看，如果D是一個連通集，則亞純函數的集合是全純函數的整域的分式域。

黎曼曲面上的亞純函數

在一個黎曼曲面上，每個點都擁有一個同構於複平面上的一個開子集的鄰域。因此，在任意黎曼曲面上都可以定義為亞函數。 

當D為整個黎曼球時，亞純函數域就是複平面上的單變數有理函數域，因為可以證明任意黎曼球上的亞純函數都是有理函數（這是所謂的GAGA原理的一個特例）。

由於亞純函數的極點是孤立點，它們至多有可數多個。極點的個數可以有無窮多個，例如函數使用解析拓延來消去可去奇點后，亞純函數可以進行加減法和乘法的運算。當g(z)在D的連通部分上不恆為零時，還可以定義。因此，當D連通時，所有的亞純函數構成一個域，為複數域的一個域擴張。