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哥德巴赫猜想

當年徐遲的一篇報告文學，中國人知道了陳景潤和哥德巴赫猜想。

那麼，什麼是哥德巴赫猜想呢？

哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數（只能被1和它本身整除的數）之和。如6=3+3，12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，提出了以下的猜想：

（a）任何一個≥6之偶數，都可以表示成兩個質數之和。

（b）任何一個≥9之奇數，都可以表示成不超過三個的質數之和。

這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的注意。從哥德巴赫提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如： 6 = 3 + 3,8 = 3 + 5,10 = 5 + 5 = 3 + 7,12 = 5 + 7,14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11,18 = 5 + 13，……等等。有人對33×10的8次方以內且大過6之偶數一一進行驗算，哥德巴赫猜想(a）都成立。但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。

從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的"明珠"。人們對哥德巴赫猜想難題的熱情，歷經兩百多年而不衰。世界上許許多多的數學工作者，殫精竭慮，費盡心機，然而至今仍不得其解。

“1+S”和陳氏定理

到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年挪威數學家布朗用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比6大的偶數都可以表示為（9+9）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從（9十9）開始，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最後使每個數里都是一個質數為止，這樣就證明了哥德巴赫猜想。

目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理：“任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。”通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為“1 + 2”的形式。

在陳景潤之前，關於偶數可表示為 s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和（簡稱“s + t”問題）之進展情況如下：

1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。

1937年，義大利的蕾西先後證明了“5 + 7”，“4 + 9”，“3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。

1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1 + C”，其中C是一個無窮大的整數。

1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。

1957年，中國的王元證明了“3 + 3”和“2 + 3”。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 + 5”，中國的王元證明了“1 + 4”。

1965年，蘇聯的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及義大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了“1 + 2 ”。

從1920年布朗證明“9+9”到1966年陳景潤攻下“1+2”，歷經46年。自“陳氏定理”誕生至今的30多年裡，人們對哥德巴赫猜想猜想的進一步研究，均勞而無功。

王曉明對陳氏定理的質疑

一、陳景潤證明的不是哥德巴赫猜想

陳景潤與邵品宗合著的《哥德巴赫猜想》第118頁（遼寧教育出版社）寫道：陳景潤定理的“1+1”結果，通俗地講是指：對於任何一個大偶數N，那麼總可以找到奇素數P',P",或者P1,P2,P3，使得下列兩式至少一式成立：“

N=P'+P" (A)

N=P1+P2*P3 (B)

當然並不排除（A)(B）同時成立的情形，例如62=43+19，62=7+5X11。”

眾所周知，哥德巴赫猜想是指對於大於4的偶數（A）式成立，【1+2】是指對於大於10的偶數（B）式成立，

兩者是不同的兩個命題，陳景潤把兩個毫不相關的命題混為一談，並在申報獎項時偷換了概念（命題），陳景潤也沒有證明【1+2】，因為【1+2】比【1+1】難得多。

二、陳景潤使用了錯誤的推理形式

陳採用的是相容選言推理的“肯定肯定式”：或者A，或者B，A，所以或者A或B，或A與B同時成立。這是一種錯誤的推理形式，模稜兩可，牽強附會，言之無物，什麼也沒有肯定，正如算命先生那樣“：李大嫂分娩，或者生男孩，或者生女孩，或者同時生男又生女（多胎）”。無論如何都是對的，這種判斷在認識論上稱為不可證偽，而可證偽性是科學與偽科學的分界。相容選言推理只有一種正確形式。否定肯定式：或者A，或者B，非A，所以B。相容選言推理有兩條規則：1，否認一部分選言肢，就必須肯定另一部分選言肢；2，肯定一部分選言肢卻不能否定另一部份選言肢。可見對陳景潤的認可表明中國數學會思維混亂，缺乏基本的邏輯訓練。

三、陳景潤大量使用錯誤概念

陳在論文中大量使用“充分大”和“殆素數”這兩個含糊不清的概念。而科學概念的特徵就是：精確性，專義性，穩定性，系統性，可檢驗性。而“充分大”，陳指10的50萬次方，這是不可檢驗的數。殆素數指很像素數，實際上是合數，拿相與不像從事嚴格的證明，是小孩子的遊戲。

四、陳景潤的結論不能算定理

陳的結論採用的是特稱（某些，一些），即某些N是（A），某些N是（B），就不能算定理，因為所有嚴格的科學的定理，定律都是以全稱（所有，一切，全部，每個）命題形式表現出來，一個全稱命題陳述一個給定類的所有元素之間的一種不變關係，適用於一種無窮大的類，它在任何時候都無區別的成立。而陳景潤的結論，連概念都算不上。

五、陳景潤的工作嚴重違背認識規律

在沒有找到素數普遍公式之前，哥氏猜想是無法解決的，正如化圓為方取決於圓周率的超越性是否搞清，事物質的規定性決定量的規定性。（哥德巴赫猜想傳奇）王曉明1999，3期《中華傳奇》責任編輯陶慧潔）

布朗篩法的思路是這樣的：即任一偶數（自然數）可以寫為2n，這裡n是一個自然數，2n可以表示為n個不同形式的一對自然數之和：2n=1+（2n-1）=2（2n-2）=3+（2n-3）=…=n+n 在篩去不適合哥德巴赫猜想結論的所有那些自然數對之後（例如1和2n-1;2i和（2n-2i),i=1，2，…；3j和（2n3j），j= 2,3，…；等等），如果能夠證明至少還有一對自然數未被篩去，例如記其中的一對為p1和p2，那麼p1和p2都是素數，即得n=p1+p2，這樣哥德巴赫猜想就被證明了。前一部分的敘述是很自然的想法。關鍵就是要證明'至少還有一對自然數未被篩去'。世界上誰都未能對這一部分加以證明。要能證明，這個猜想也就解決了。

然而，因大偶數n（不小於6）等於其對應的奇數數列（首為3，尾為n-3）首尾挨次搭配相加的奇數之和。故根據該奇數之和以相關類型質數+質數（1+1）或質數+合數（1+2）（含合數+質數2+1或合數+合數2+2）（註：1+2 或 2+1 同屬質數+合數類型）在參與無限次的"類別組合"時，所有可發生的種種有關聯繫即1+1或1+2完全一致的出現，1+1與1+2的交叉出現（不完全一致的出現），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1與2+2的"不完全一致"等情況的排列組合所形成的各有關聯繫，就可導出的"類別組合"為1+1，1+1 與1+2和2+2，1+1與1+2，1+2與2+2，1+1與2+2，1+2等六種方式。因為其中的1+2與2+2，1+2 兩種"類別組合"方式不含1+1。所以1+1沒有覆蓋所有可形成的"類別組合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可將1+2與2+2，以及1+2兩種方式的存在排除，則1+1得證，反之，則1+1不成立得證。然而事實卻是：1+2 與2+2，以及1+2（或至少有一種）是陳氏定理中（任何一個充分大的偶數都可以表示為兩個素數的和，或一個素數與兩個素數乘積的和），所揭示的某些規律（如1+2的存在而同時有1+1缺失的情況）存在的基礎根據。所以1+2與2+2，以及1+2（或至少有一種）"類別組合"方式是確定的，客觀的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。這就徹底論證了布朗篩法不能證"1+1"。

對於質疑的解釋

中國有許多數學愛好者稱自己證明了“哥德巴赫猜想”。其中偽民科王曉明別有用心的散布“陳景潤當年的證明是造假”“陳景潤、王元、潘承洞偷換概念申報獎項”的謠言，歪曲事實，以達到炒作自己“成果”的目的。如被人不斷轉貼的《哥德巴赫猜想傳奇》（王曉明），如“陳在論文中大量使用“充分大”和“殆素數”這兩個含糊不清的概念”，實際上，這兩個概念數學界早已認同並普遍使用，而且陳景潤證明中從沒有“殆素數”的字樣，“充分大”只用了一次；又如“陳的結論採用的是特稱（某些，一些），即某些N是（A），所以根本不能算定理”，可以看出作者完全不理解“定理”的科學含義；又如“陳採用的是相容選言推理的“肯定肯定式”，這是一種錯誤的推理形式，言之無物，什麼也沒有肯定”而陳景潤在證明中用到的根本不是“相容選言推理”的邏輯形式等，很多都是是作者的主觀判斷，缺乏根據。

哥德巴赫猜想的意義

由於素數本身的分佈呈現無序性的變化，素數對的變化同偶數值的增長二者之間不存在簡單正比例關係，偶數值增大時素數對值忽高忽低。能通過數學關係式把素數對的變化同偶數的變化聯繫起來嗎？不能！偶數值與其素數對值之間的關係沒有數量規律可循。二百多年來，人們的努力證明了這一點，最後選擇放棄，另找途徑。於是出現了用別的方法來證明歌德巴赫猜想的人們，他們的努力，只使數學的某些領域得到進步，而對哥德巴赫猜想證明沒有一點作用。

歌德巴赫猜想本質是一個偶數與其素數對關係，表達一個偶數與其素數對關係的數學表達式，是不存在的。它可以從實踐上證實，但邏輯上無法解決個別偶數與全部偶數的矛盾。個別如何等於一般呢？個別和一般在質上同一，量上對立。矛盾永遠存在。歌德巴赫猜想是永遠無法從理論上，邏輯上證明的數學結論。

“用當代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內容，第一部分叫做奇數的猜想，第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出，任何一個大於等於7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是說，大於等於4的偶數一定是兩個素數的和。”（引自《哥德巴赫猜想與潘承洞》）

關於歌德巴赫猜想的難度我就不想再說什麼了，我要說一下為什麼現代數學界對哥德巴赫猜想的興趣不大，以及為什麼中國有很多所謂的民間數學家對哥德巴赫猜想研究興趣很大。

事實上，在1900年，偉大的數學家希爾伯特在世界數學家大會上作了一篇報告，提出了23個挑戰性的問題。哥德巴赫猜想是第八個問題的一個子問題，這個問題還包含了黎曼猜想和孿生素數猜想。現代數學界中普遍認為最有價值的是廣義黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多問題就都有了答案，而哥德巴赫猜想和孿生素數猜想相對來說比較孤立，若單純的解決了這兩個問題，對其他問題的解決意義不是很大。所以數學家傾向於在解決其它的更有價值的問題的同時，發現一些新的理論或新的工具，“順便”解決哥德巴赫猜想。

例如：一個很有意義的問題是：素數公式。若這個問題解決，（詳見“素數普遍公式”“孿生素數普遍公式”）關於素數的問題應該說就不是什麼問題了。

為什麼民間數學家們如此醉心於哥猜，而不關心黎曼猜想之類的更有意義的問題呢？

一個重要的原因就是，黎曼猜想對於沒有學過數學的人來說，想讀明白是什麼意思都很困難。而歌德巴赫猜想對於小學生來說都能讀懂。

數學界普遍認為，這兩個問題的難度不相上下。

民間數學家解決哥德巴赫猜想大多是在用初等數學來解決問題，一般認為，初等數學無法解決哥德巴赫猜想。退一步講，即使那天有一個牛人，在初等數學框架下解決了哥德巴赫猜想，有什麼意義呢？這樣解決，恐怕和做了一道數學課的習題的意義差不多了。

當年柏努力兄弟向數學界提出挑戰，提出了最速降線的問題。牛頓用非凡的微積分技巧解出了最速降線方程，約翰·柏努力用光學的辦法巧妙的也解出最速降線方程，雅克布·柏努力用比較麻煩的辦法解決了這個問題。雖然雅克布的方法最複雜，但是在他的方法上發展出了解決這類問題的普遍辦法——變分法。雅克布的方法是最有意義和價值的。

同樣，當年希爾伯特曾經宣稱自己解決了費爾馬大定理，但卻不公布自己的方法。別人問他為什麼，他回答說：“這是一隻下金蛋的雞，我為什麼要殺掉它？”的確，在解決費爾馬大定理的歷程中，很多有用的數學工具得到了進一步發展，如橢圓曲線、模形式等。

所以，現代數學界在努力的研究新的工具，新的方法，期待著哥德巴赫猜想這個“下金蛋的雞”能夠催生出更多的理論和工具。

證明“1+1”：

歌德巴赫猜想”在中國被稱為“1+1”。這裡的“1”是指“素數”。在日常生活中人們認識了自然數，習慣把自然數按奇偶性分為“奇數”和

偶數”兩類。奇數細分為：1、奇素數、奇合數三類，奇素數在奇數範圍內簡稱為素數。

如果：把奇素數表示為“p”；奇合數表示為“q”；偶數表示為“2n”。那麼“歌德巴赫猜想”就是要

證明：{p⑵+p⑴}={2n>=6}。

奇合數q的素因子不包含3，2q-3^n是素數。

素數c不在奇合數f的素因子中，在自然數中我們總可以找到2f-c^n為素數。

推廣：q是素因子中不含p(k），p(j）……的自然數，在自然數中我們總可以找到

2q-[p(k)^n][p(j)^m]……=p(t），p(t）為素數，m，n>=0不同時為0。

素數是素數冪積的映像，{p2-p1}={素數差}={素數冪積差}={2n}。

{p1+p2}={2n>=6}”，可以利用（p-3）/2=d，（q-3）/2=e來證：

{e -d1}={ (q-3）/2 - (p1-3） /2 }={ [ (q-3） - (p1-3） ] /2 }= { (q - p1） /2 }={2n/2}={n}，

同理，{d2-d3}={ (p2 - p3） /2 }={2n/2}={n}，

{d2-d3}={e-d1}，不取d3=d1。

{d2+d1}={e+d3}，

{2d2+3+2d1+3}={2e+3+2d3+3} ，（e>=3）

{q+p3}={2n},

所以{p1+p2}={q+p3}={2n>=12}

{3，5}+{3，5}={6，8，10}={6<=2n<12}

{p1+p2}={2n>=12}+{6<=2n<12}={2n>=6}。

所以“1+1”成立。