既約多項式

既約多項式

既約多項式又稱“不可約多項式”。次數大於零的有理數係數多項式,不能分解為兩個次數較低但都大於零的有理數係數多項式的乘積時,稱為有理數範圍內的“既約多項式”。在實數或複數範圍內,也有相應的定義。在只有一元的情況下,實數範圍內的既約多項式是一次或二次多項式(其中b²-4ac<0),複數範圍內的既約多項式必是一次多項式。

定義


設f(x)是次數大於零的多項式,若除常數和常數與本身的乘積以外,再不能被域Fp上的其他多項式整除,則稱f(x)為域Fp上的既約多項式

有理數


艾氏判別法

在有理係數一元多項式中,可用艾氏判別法判定一個多項式既約。
若存在一個質數p滿足
1.p不整除
2.p整除其餘係數
3.不整除
則f(x)在有理數集內不可約。

同餘判別

若整係數多項式f(x)在有理數集內可以分解,那麼如果多項式g(x)滿足,其中p為質數,則多項式g(x)在有理數集內也可以分解。若整係數多項式f(x)在有理數集內既約,那麼如果多項式g(x)滿足,p為質數,那麼g(x)在有理數集內也不可約。

實數與複數


由代數基本定理可知,關於x的一元n次方程在複數集內有n個根(有多個重根則算作多個根),那麼由余式定理可知一元n次多項式必可分解為n個一次因式之積,即是說,在複數集內只有一元一次多(單)項式是既約的。
而在一元n次方程的所有虛根中,這些虛根必定是兩兩共軛(形如與的一對虛數稱為共軛虛數,其中)的,將共軛虛根對應的一次因式相乘,可以得到一個實係數多項式。
即.
即是說,在實數集內任何高於二次的一元多項式都可以分解。
若一元二次多項式中,那麼該多項式在實數集內亦可分解。若,則該多項式在實數集內為既約多項式。