多項式定理
德國數學家萊布尼茲提出的定理
二項式定理的展開式富有規律性、美觀性，體現了數學的美學文化，而多項式定理為二項式定理的推廣。用實際生活中的空盒放球來描述的話，則為：把 n 個有區別的小球放入到 k 個有區別的盒子中（盒內無序），使得第一個盒子裡邊裝有 n1 個小球，第二個盒子裡邊裝有 n 2個小球，…，第 t 個盒子裡邊裝有 nt個小球，並且滿足 n1+n2+...+nt=n，則可以很容易的利用多項式定理得到不同方法總的數目。
多項式定理是德國數學家萊布尼茲首先發現的，他將此發現寫信告訴了瑞士數學家約翰。貝努利，由貝努利完成了定理的證明。
為方便起見，定義如下記號：
其中是非負整數，滿足
意義：將 n 個元素分為 t 組，使得第 i 組有個元素的方式數，重數分別為 的 t 各種元素的排列數。
設n是正整數，則對 t 個實數有
其中 。
是 n 個因式的乘積，其展開式中共有項，我們可以按如下方法將這些項進行分類，設是展開式中任一項，如果在 中有個，個，...，個（其中有），則把 歸於 類。顯然，屬於 類的項的個數等於由 個 ， 個 ，...， 個 作成的全排列數，為。因此，在 的展開式中（合併同類項之後），的係數為 ，至此該定理得證。
（1）若取，則有：
。
（2）多項式定理是對二項式定理的推廣，在多項式定理中令就得到了二項式定理。
設計設 n 為正整數，x 和 y 是任意實數，則有： 。
設 n 為正整數，x是任意實數，則有：。
設 n 為正整數，則有：
（1）（令推論2中 ，則可得）。
（2）（令推論2中 ，則可得）。
（令多項式定理中的，則可得到）。
基本信息
- 中文名
- 多項式定理
- 外文名
- Multinomial theorem
- 應用學科
- 代數、組合數學
- 提出者
- 德國數學家萊布尼茲
- 應用1
- 求解多項式展開式中某一項的係數
- 應用2
- 小球入盒問題
- 本質
- 二項式定理的推廣