二項式定理

二項式定理可以用以下公式表示：

其中，又有 等記法，

稱為二項式係數(binomial coefficient)，即取的組合數目。此係數亦可表示為楊輝三角形。它們之間是互通的關係。

根據該定理，可以將多項式擴展為涉及形式的和的總和，其中指數b和c是具有的非負整數，並且係數a 每個項是根據n和b的特定正整數。

考慮用數學歸納法。

當時，則

假設二項展開式在 時成立。

設，則：

，（將a、b<乘入）

，（取出 的項）

，（設）

，（取出 項）

，（兩者相加）

，（套用帕斯卡法則）

牛頓廣義二項式定理

二項式定理定理可以推廣到對任意實數次冪的展開。

其中。

牛頓二項式擴充定理

設函數：

根據二項式定理得F(x)的任意一項為：

同理上式（）中的任意一項為

如此類推我們預知最後一項存在;

那麼我們得到其中

的任意一個係數為以上各式係數之積即為；

設而且 項的係數為AM

當時，這就是多項式定理

二項式定理推廣至n為負數

二項式定理的一個常用形式為

()

考慮到組合數的性質，上式可以改寫為

()

我們猜想當上式中左邊的指數為負整數時公式

依然成立，即

()

上式的正確性可以很容易地加以驗證。同理，二項式定理也可以推廣到非整數指數的情況。

上面的結果與牛頓二項式展開完全一致。

證明組合恆等式

二項式定理給出的係數可以視為組合數 的另一種定義。因此二項式展開與組合數的關係十分密切。它常常用來證明一些組合恆等式。

比如證明，可以考慮恆等式。

展開等式左邊得到： 。注意這一步使用了有限求和與乘積可以交換的性質。

同時如果展開等式右邊可以得到。

比較兩邊冪次位的項的係數可以得到：

。

令，並注意到 即可得到所要證明的結論。

證明自然數冪求和公式

公式具體內容:

它不是一個等差數列，也不是一個等比數列，但通過二項式定理的展開式，可以轉化為按等差數列，由低次冪到高次冪遞進求和，最終可推導至李善蘭自然數冪求和公式的原形。

當n為奇數時，由

相加得:

加或減去所有添加的二項式展開式數

減去所有添加的二項式展開式數。

當n為偶數時，由相加得:

或1]加或減去所有添加的二項式展開式數

又當n為偶數時，由相加得:

或1]加或減去所有添加的二項式展開式數，合併n為偶數時2S的兩個計算結果，可以得到的計算公式。

其中，所有添加的二項式展開式數，按下列二項式展開式確定，如此可以順利進行自然數的1至n冪的求和公式的遞進推導，最終可以推導至李善蘭自然數冪求和公式。

二項式定理最初用於開高次方。在中國，成書於1世紀的《九章算術》提出了世界上最早的多位正整數開平方、開立方的一般程序。11世紀中葉，賈憲在其《釋鎖算書》中給出了“開方作法本原圖”（如圖1），滿足了三次以上開方的需要。此圖即為直到六次冪的二項式係數表，但是，賈憲並未給出二項式係數的一般公式，因而未能建立一般正整數次冪的二項式定理。13世紀，楊輝在其《詳解九章演演算法》中引用了此圖，並註明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。賈憲的著作已經失傳，而楊輝的著作流傳至今，所以今稱此圖為“賈憲三角”或“楊輝三角”。14世紀初，朱世傑在其《四元玉鑒》中復載此圖，並增加了兩層，添上了兩組平行的斜線。

在阿拉伯，10世紀，阿爾 ·卡拉吉已經知道二項式係數表的構造方法：每一列中的任一數等於上一列中同一行的數加上該數上面一數。11~12世紀奧馬海牙姆將印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次，因而研究了高次二項展開式。13世紀納綏爾丁在其《算板與沙盤演演算法集成》中給出了高次開方的近似公式，並用到了二項式係數表。15世紀，阿爾 ·卡西在其《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，並給出了直到九次冪的二項式係數表，還給出了二項式係數表的兩術書中給出了一張二項式係數表，其形狀與賈憲三角一樣。16世紀，許多數學家的書中都載有二項式係數表。1654年，法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次冪的二項式定理，因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英國的牛頓將二項式定理推廣到有理指數的情形。18世紀，瑞士的歐拉和義大利的卡斯蒂隆分別採用待定係數法和“先異后同”的方法證明了實指數情形的二項式定理。 

牛頓以二項式定理作為基石發明出了微積分。 其在初等數學中應用主要在於一些粗略的分析和估計以及證明恆等式等。

這個定理在遺傳學中也有其用武之地，具體應用範圍為：推測自交後代群體的基因型和概率、推測自交後代群體的表現型和概率、推測雜交後代群體的表現型分佈和概率、通過測交分析雜合體自交後代的性狀表現和概率、推測夫妻所生孩子的性別分佈和概率、推測平衡狀態群體的基因或基因型頻率等。

對於任意一個n次多項式，我們總可以只藉助最高次項和（）次項，根據二項式定理，湊出完全n次方項，其結果除了完全n次方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項、二次項、三次項等，直到（）次項。特別地，對於三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。

由於二次以上的n次多項式（，），在配n次方之後，並不能總保證在完全n次方項之後僅有常數項。於是，對於二次以上的一元整式方程，我們無法簡單地像一元二次方程那樣，只需配出關於x的完全平方式，然後將後面僅剩的常數項移到等號另一側，再開平方，就可以推出通用的求根公式。對於求解二次以上的一元整式方程，往往需要大量的巧妙的變換，無論是求解過程，還是求根公式，其複雜程度都要比一次、二次方程高出很多。

詳見：一元三次方程、一元四次方程。