求根公式

一元二次ax^2+bx+c=0可用求根公式x=求解，它是由方程係數直接把根表示出來的公式。這個公式早在公元9世紀由中亞細亞的阿爾·花拉子模給出。

南宋數學家秦九韶至晚在1247年就已經發現一元三次方程的求根公式，歐洲人在400多年後才發現，但在中國的課本上這個公式仍是以那個歐洲人的名字來命名的。

一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的求根公式是1545年由義大利的卡當發表在《關於代數的大法》一書中，人們就把它叫做“卡當公式”。可是事實上，發現公式的人並不是卡當本從，而是塔塔利亞（TartagliaN.,約1499~1557）.發現此公式后。

曾據此與許多人進行過解題競賽，他往往是勝利者，因而他在義大利名聲大震。醫生兼數學家卡當得知塔塔利亞總是獲勝的消息后，就千方百計地找塔塔利亞探聽他的秘密。當時學者們通常不急於把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武器向別人挑戰比賽，或等待懸賞應解，以獲取獎金。儘管卡當千方百計地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長時間中塔塔利亞都守口如瓶。可是後來，由於卡當一再懇切要求，而且發誓對此保守秘密，於是塔塔利亞在1539年把他的發現寫成了一首語句晦澀的詩告訴了卡當，但是並沒有給出詳細的證明。卡當並沒有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的藝術》一書中向世人公開了這個解法。

他在此書中寫道："這一解法來自於一位最值得尊敬的朋友--布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下。"從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡當公式。塔塔利亞知道卡當把自己的秘密公之於眾后，怒不可遏。按照當時人們的觀念，卡當的做法無異於背叛，而關於發現法則者是誰的附筆只能被認為是一種公開的侮辱。於是塔塔利亞與卡當在米蘭市的教堂進行了一場公開的辯論。

許多資料都記述過塔塔利亞與卡當在一元三次方程求根公式問題上的爭論，可信的是，名為卡當公式的一元三次方程的求解方法，確實是塔塔利亞發現的；卡當沒有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多文獻資料的指責，卡當錯有應得，但是卡當在公布這一解法時並沒有把發現這一方法的功勞歸於自己，而是如實地說明了這是塔塔利亞的發現，所以算不上剽竊；而且證明過程是卡當自己給出的，說明卡當也做了工作。卡當用自己的工作對塔塔利亞泄露給他的秘密加以補充，違背誓言，把秘密公之於世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的進程。不過，公式的名稱，還是應該稱為方塔納公式或塔塔利亞公式；稱為卡當公式是歷史的誤會。一元三次方程應有三個根。塔塔利亞公式給出的只是一個實根。又過了大約200年後，隨著人們對虛數認識的加深，到了1732年，才由瑞士數學家歐拉找到了一元三次方程三個根的完整的表達式。

塔爾塔利亞

塔爾塔利亞是義大利人，出生於1500年。他12歲那年，被入侵的法國兵砍傷了頭部和舌頭，從此說話結結巴巴，人們就給他一個綽號“塔爾塔利亞”(在義大利語中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學成才，成了數學家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出30道題，由對方去解。結果，塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來，對方卻一道題也沒做出來。塔爾塔利亞大獲全勝。這時，義大利數學家卡當出場，請求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。後來卡當對塔爾塔利假裝說要推薦他去當西班牙炮兵顧問，還發誓，永遠不泄漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔爾塔利亞這才把解一元三次方程的秘密告訴了卡當。六年以後，卡當不顧原來的信約，在他的著作《關於代數的大法》中，將經過改進的三次方程的解法公開發表。後人就把這個方法叫作“卡當公式”塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以後被埋沒了一樣。

至於一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0求根公式由卡當的學生弗拉利找到了。

關於三次、四次方程的求根公式，因為要涉及複數概念，這裡不介紹了。

一元三次、四次方程求根公式找到后，人們在努力尋找一元五次方程求根公式，三百年過去了，但沒有人成功，這些經過嘗試而沒有得到結果的人當中，不乏有大數學家。

後來年輕的挪威數學家阿貝爾於1824年所證實，n次方程(n≥5)沒有公式解。不過，對這個問題的研究，其實並沒結束，因為人們發現有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那麼又是什麼樣的一元n次方程才沒沒有求根公式呢？

不久，這一問題在19世紀止半期，被法國數學家伽羅華利用他創造的全新的數學方法所證明，由此一門新的數學分支“群論”誕生了。

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。

ax^3+bx^2+cx+d=0

為了方便，約去a得到

x^3+kx^2+mx+n=0

令x=y-k/3

代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0

(y-k/3)^3中的y^2項係數是-k

k(y-k/3)^2中的y^2項係數是k

所以相加后y^2抵消

得到y^3+py+q=0

其中p=(-k^2/3)+m

q=(2k^3/27)-(km/3)+n

計算方法

一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方裡面的內容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：

（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到求根公式

（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

（3）由於x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化為

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移項可得

（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知

（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得

（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

(9)對比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

可化為

(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

將(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)

B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)

(13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)

式(14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了。

ax3+bx2+cx+d=0記：p=（27a2d-9abc+2b3）/(54a3)q=(3ac-b2）/（9a2）X1=-b/（3a）+（-p+（p2+q3）^(1/2))^(1/3)+（-p-（p2+q3）^(1/2))^(1/3)

三次方求根

f{m}=m(k+1)=m(K)+{A/㎡.(k)-m(k)}1/n.

n是方次，A被開方數。

例如，A=5，5介於1的3次方至2的3次方之間。我們可以隨意代入一個數m，例如2，那麼：

第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7;

第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71;

第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709;

每次多取一位數。公式會自動反饋到正確的數值。