變分法

《變分法》教學大綱

課程編碼：07141001

課程名稱：變分法

英文名稱：Calculus of Variations

開課學期：第6學期

學時/學分：30/1.5 （其中實驗學時：0學時）

課程類型：學位基礎選修課

開課專業：機械科學與工程學院工程力學專業

選用教材：講稿

主要參考書：《彈性力學》 徐芝綸編著高等教育出版社

《彈性和塑性力學的變分法》 鷲津久一郎著

《廣義變分原理》錢偉長著

執筆人：周振平

中國人在彈性力學變分法的發明過程中也做出了重大貢獻，彈性力學變分法準確地說叫做 "胡海昌- 鷲津久一郎"變分法。由胡海昌和鷲津久一郎相互獨立地發明。

胡海昌. 彈性力學的變分原理及其應用. 北京：科學出版社，1981年5月第1版

作為數學的一個分支，變分法的誕生，是現實世界許多現象不斷探索的結果，人們可以追尋到這樣一個軌跡：

約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全歐洲數學家挑戰，提出一個難題：“設在垂直平面內有任意兩點，一個質點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什麼曲線下滑，時間最短？”

這就是著名的“最速降線”問題（The Brachistochrone Problem）。它的難處在於和普通的極大極小值求法不同，它是要求出一個未知函數（曲線），來滿足所給的條件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大興趣，羅比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛頓（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。約翰的解法比較漂亮，而雅可布的解法雖然麻煩與費勁，卻更為一般化。後來歐拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)發明了這一類問題的普遍解法，從而確立了數學的一個新分支——變分學。