隨機有限元法

隨機有限元法（Stochastic FEM）,也稱概率有限元法（Probabilistic FEM）正是隨機分析理論與有限元方法相結合的產物，是在傳統的有限元方法的基礎上發展起來的隨機的數值分析方法。

在 20 世紀 70 年代初， Cambou 首先採用一次二階矩方法研究線彈性問題。由於這種方法將隨機變數的影響量進行 Taylor級數展開，就稱之為 Taylor 展開法隨機有限元（TSFEM）。Shinozuka 和 Astill（1972)分別獨立運用攝動技術研究了隨機系統的特徵值問題。隨後，Handa（1975）等人在考慮隨機變數波動性時採用一階和二階攝動技術，並將這種攝動法隨機有限元成功地應用於框架結構分析。Vanmarcke 等人（1983）提出隨機場的局部平均理論，並將它引入隨機有限元。局部平均理論是用隨機場函數在每一個離散單元上的局部平均的隨機變數來代表該單元的統計量的近似理論。Liu W. K.等人（1986、1988）的系列工作，提供了一種“主模態”技術，運用隨機變數的特徵正交化方法，將滿秩的協方差矩陣變換為對角矩陣，減少計算工作量，對攝動隨機有限元法的發展做出貢獻，此外，提出了一個隨機變分原理。

Yamazaki 和 Shinozuka(1987)創造性地將運算元的 Neumann 級數展開式引入隨機有限元的列式工作。從本質上講，Neumann級數展開方法也是一類正則的小參數攝動方法，正定的隨機剛度矩陣和微小的隨機擾動量是兩個基本要求，這兩個基本要求保證了攝動解的正則性和收斂性，其優點在於攝動形式較簡單並可以得到近似解的高階統計量。Shinozuka 等人（1987）將隨機場函數的 Monte-Carlo 模擬與隨機剛度矩陣的eumann 級數展開式結合，得到具有較好指出，將出現以隨機變分原理為基礎的隨機有限元法來逐漸取代以攝動法為基礎的隨機有限元法。 Spanos和Ghanem等人（1989， 1991）結合隨機場函數的Karhuen-Loeve展式和Galerkin（迦遼金）射影方法建立了相應的隨機有限元列式，並撰寫了隨機有限元法領域的第一本專著《隨機有限元譜方法》。