有限元分析方法

有限元分析是使用有限元方法來分析靜態或動態的物理物體或物理系統。在這種方法中一個物體或系統被分解為由多個相互聯結的、簡單、獨立的點組成的幾何模型。在這種方法中這些獨立的點的數量是有限的，因此被稱為有限元。由實際的物理模型中推導出來得平衡方程式被使用到每個點上，由此產生了一個方程組。這個方程組可以用線性代數的方法來求解。有限元分析 的精確度無法無限提高。元的數目到達一定高度后解的精確度不再提高，只有計算時間不斷提高。

有限元分析法（FEA）已應用得非常廣泛，現已成為年創收達數十億美元的相關產業的基礎。即使是很複雜的應力問題的數值解，用有限元分析的常規方法就能得到。此方法是如此的重要，以至於即便像這些只對材料力學作入門性論述的模塊，也應該略述其主要特點。不管有限元法是如何的卓有成效，當你應用此法及類似的方法時，計算機解的缺點必須牢記在心頭：這些解不一定能揭示諸如材料性能、幾何特徵等重要的變數是如何影響應力的。一旦輸入數據有誤，結果就會大相徑庭，而分析者卻難以覺察。所以理論建模最重要的作用可能是使設計者的直覺變得敏銳。有限元程序的用戶應該為此目標部署設計策略，以儘可能多的封閉解和實驗分析作為計算機模擬的補充。與現代微機上許多字處理和電子製表軟體包相比，有限元的程序不那麼複雜。然而，這些程序的複雜程度依然使大部分用戶無法有效地編寫自己所需的程序。可以買到一些預先編好的商用程序1，其價格範圍寬，從微機到超級計算機都可兼容。但有特定需求的用戶也不必對程序的開發望而生畏，你會發現，從諸如齊凱維奇（Zienkiewicz2）等的教材中提供的程序資源可作為有用的起點。大部分有限元軟體是用Fortran語言編寫的，但諸如felt等某些更新的程序用的是C語言或其它更時新的程序語言。

在實踐中，有限元分析法通常由三個主要步驟組成： 1、預處理：用戶需建立物體待分析部分的模型，在此模型中，該部分的幾何形狀被分割成若干個離散的子區域——或稱為“單元”。各單元在一些稱為“結點”的離散點上相互連接。這些結點中有的有固定的位移，而其餘的有給定的載荷。準備這樣的模型可能極其耗費時間，所以商用程序之間的相互競爭就在於：如何用最友好的圖形化界面的“預處理模塊”，來幫助用戶完成這項繁瑣乏味的工作。有些預處理模塊作為計算機化的畫圖和設計過程的組成部分，可在先前存在的CAD文件中覆蓋網格，因而可以方便地完成有限元分析。 2、分析：把預處理模塊準備好的數據輸入到有限元程序中，從而構成並求解用線性或非線性代數方程表示的系統

u和f分別為各結點的位移和作用的外力。矩陣K的形式取決於求解問題的類型。 3、分析的早期，用戶需仔細地研讀程序運算后產生的大量數字，即 型，本模塊將概述桁架與線彈性體應力分析的方法。商用程序可能帶有非常大的單元庫，不同類型的單元適用於範圍廣泛的各類問題。有限元法的主要優點之一就是：許多不同類型的問題都可用相同的程序來處理，區別僅在於從單元庫中指定適合於不同問題的單元類型。

1.彈性力學分析問題

2.平衡問題

3.固體力學

4.工程力學

將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，近似函數通常由未知場函數及其導數在單元各節點的數值插值函數來表達。從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。

步驟1：剖分:

將待解區域進行分割，離散成有限個元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般採用三角形單元或矩形單元，三維空間可採用四面體或多面體等。每個單元的頂點稱為節點（或結點）。

步驟2：單元分析:

進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數用該分割單元中形狀函數及離散網格點上的函數值展開，即建立一個線性插值函數。

步驟3：求解近似變分方程

用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿繫結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函數是只包含有限個待定節點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續體的場函數。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。有限元法已被用於求解線性和非線性問題，並建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、應用廣泛，已有許多大型或專用程序系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用於計算機輔助製造中。

有限單元法最早可上溯到20世紀40年代。Courant第一次應用定義在三角區域上的分片連續函數和最小位能原理來求解St.Venant扭轉問題。現代有限單元法的第一個成功的嘗試是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飛機結構時，將鋼架位移法推廣應用於彈性力學平面問題，給出了用三角形單元求得平面應力問題的正確答案。1960年，Clough進一步處理了平面彈性問題，並第一次提出了"有限單元法"，使人們認識到它的功效。

50年代末60年代初，中國的計算數學剛起步不久，在對外隔絕的情況下，馮康帶領一個小組的科技人員走出了從實踐到理論，再從理論到實踐的發展中國計算數學的成功之路。當時的研究解決了大量的有關工程設計應力分析的大型橢圓方程計算問題，積累了豐富而有效的經驗。馮康對此加以總結提高，作出了系統的理論結果。1965年馮康在《應用數學與計算數學》上發表的論文《基於變分原理的差分格式》，是中國獨立於西方系統地創始了有限元法的標誌。

有限元法常應用於流體力學、電磁力學、結構力學計算，使用有限元軟體ANSYS、COMSOL等進行有限元模擬，在預研設計階段代替實驗測試，節省成本。

從有限元的基本方法派生出來的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊界元法、雜交元法、非協調元法和擬協調元法等，用以解決特殊的問題。