洛倫茲曲線

洛倫茲曲線用以比較和分析一個國家在不同時代或者不同國家在同一時代的 財富不平等，該曲線作為一個總結收入和財富分配信息的便利的圖形方法得到廣泛應用。通過洛倫茲曲線，可以直觀地看到一個國家收入分配平等或不平等的狀況。畫一個矩形，矩形的高衡量社會財富的百分比，將之分為五等份，每一等分為20的社會總財富。在矩形的長上，將100的家庭從最貧者到最富者自左向右排列，也分為5等分，第一個等份代表收入最低的20的家庭。在這個矩形中，將每一等分的家庭所有擁有的財富的百分比累計起來，並將相應的點畫在圖中，便得到了一條曲線就是洛倫茲曲線。整個的洛倫茲曲線是一個正方形，正方形的底邊即橫軸代表收入獲得者在總人口中的百分比，正方形的左邊即縱軸顯示的是各個百分比人口所獲得的收入的百分比。從坐標原點到正方形相應另一個頂點的對角線為均等線，即收入分配絕對平等線，這一般是不存在的。實際收入分配曲線即洛倫茲曲線都在均等線的右下方.

圖中橫軸OH表示人口（按收入由低到高分組）的累積百分比，縱軸OM表示收入的累積百分比，弧線（O-E1-E2-E3-E4-L）為洛倫茲曲線。

洛倫茲曲線的彎曲程度有重要意義。一般來講，它反映了收入分配的不平等程度。彎曲程度越大，收入分配越不平等，反之亦然。特別是，如果所有收入都集中在一人手中，而其餘人口均一無所獲時，收入分配達到完全不平等，洛倫茲曲線成為折線OHL.另一方面，若任一人口百分比均等於其收入百分比，從而人口累計百分比等於收入累計百分比，則收入分配是完全平等的，洛倫茲曲線成為通過原點的45度線OL。

一般來說，一個國家的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介於兩者之間。相應的洛倫茲曲線，既不是折線OHL，也不是45度線OL，而是像圖中這樣向橫軸突出的弧線OL，儘管突出的程度有所不同。

將洛倫茲曲線與45度線之間的部分A叫做“不平等面積”，當收入分配達到完全不平等時，洛倫茲曲線成為折線OHL，OHL與45度線之間的面積A+B叫做“完全不平等面積”。不平等面積與完全不平等面積之比，成為基尼係數，是衡量一國貧富差距的標準。基尼係數G=A/(A+B).顯然，基尼係數不會大於1，也不會小於零。

儘管可根據收入分配的統計數據加以描繪，但至今卻未能找到一種有效的方法，準確地擬合洛倫茲曲線方程並由此求出精確的基尼係數。目前常被使用的方法主要有三種：

即根據分組資料，按幾何圖形分塊近似逼近計算的方法。

即先擬合求出收入分配的概率密度函數，再根據概率密度函數導出洛倫茲曲線。

即選擇適當的曲線直接擬合洛倫茲曲線，常用的曲線有二次曲線、指數曲線和冪函數曲線。

利用第一種方法不能得到洛倫茲曲線的表達式，只能用來計算基尼係數，但由於在計算分塊面積時用直線近似地代替曲線，所估計的基尼係數要小於實際值，尤其在數據點較少時，誤差較大。第二種方法由於計算收入分配的概率密度的複雜性，很難提出合適的概率函數。至於第三種方法，即直接用曲線方程去擬合洛倫茲曲線，應該不失為一種較好的方法，但目前主要的問題在於現有常用的曲線並不適用，曲線含義不明確，或擬合誤差較大。

為了更準確地描述洛倫茲曲線和精確地估計基尼係數，我們通過分析洛倫茲曲線的特性，設計出一條洛倫茲曲線方程，對洛倫茲曲線直接進行擬合。經過實例分析，擬合效果好，由洛倫茲曲線可推導出基尼係數的計算公式，計算結果精確度也很高。

洛侖茲曲線具有以下的性質：

(1)P(0)=0,Q(0)=0，即0%的人口的收入佔總收入的0%；而P( )=1,Q( )=1，即100%的人口的收入佔總收入的100%。

(2）當洛侖茲曲線為45°角的0A線時，人口比重增加一個單位，相應的收入比重也增加一個單位，這表明每個人的收入相同，即收入分配是絕對平均的。直線0A成為絕對平均線.

(3）當洛侖茲曲線為0BA折線時，人口比重在增加到100%前，收入比重保持0不變，當人口比重一達到100%.收入比重馬上達到100%，這表明所有收入集中在一個人手中，而其他人的收入都為零，即社會收入分配是絕對不平均的.0BA折線稱為絕對不平均線。

(4）洛侖茲曲線其實是一條分佈曲線，洛侖茲函數Q=Q(P）是一個分佈函數.

顯然，在現實生活中，資本在各經濟部門之間的分配絕對平均化或絕對不平均這2種極端現象是不存在的；相反，不均等，有差異是普遍存在的，也是正常的，一般情況是介於二者之間。即洛侖茲曲線是一條介於絕對平均線和絕對不平均線之間的一條曲線。

一般來說，一個國家在貧窮時，其貧富差距就大些，在富裕時，貧富差距就小些，不過，還是有例外的，這個例外就是中國．原因是中國的福利制度的完善跟不上發展的速度，制度不完善，就存在漏洞，就有機可乘；另外一個原因是中國的特殊情況，中國是計劃經濟體制，雖然後來經過調整，可是過程很漫長，不幸的是，我們現在正處於這個過程時期，並將長期處於這個過程階段．所以，中國貧窮時的貧富差距很小，但現在經濟好轉了，貧富差距卻越來越大了．