燕尾定理
一個關於平面三角形的定理
燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交於同一點O，有
S△AOB∶S△AOC=BD∶CD
S△AOB∶S△COB=AE∶CE
S△BOC∶S△AOC=BF∶AF
因此圖類似燕尾而得名。是五大模型之一，是一個關於平面三角形的定理，俗稱燕尾定理。
證法1：下面的是第一種方法：利用分比性質(若a÷b=c÷d，則（a-b）÷b=（c-d）÷d,b≠0，d≠0,）
註：∵（a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1,
(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1,
a/b=c/d
∴（a-b）÷b=（c-d）÷d
燕尾定理
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD
同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD
利用分比性質，得
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD
即S△AOB：S△AOC=BD：CD
命題得證。
（由此可得：若X：Y=a∶b，X1∶Y1=a∶b；則（X±X1）∶（Y±Y1）=a∶b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1）
證法2：相似三角形法。
已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O，連接並延長BO，交AC於點E。
求證：AE=CE 證明：
過點O作MN∥BC,，交AB於點M，AC於點N；
過點O作PQ∥AB，交BC於點P，交AC於點Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD
∴MO：BD=NO：CD
∵AD是△ABC的一條中線
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF
∴PO：BF=QO：AF
∵CF是△ABC的一條中線
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC（內錯角相等，兩條直線平行）
∴△BMR∽△BAE（R為MP與BO的交點），△BPR∽△BCE
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE
∴MR：AE=PR：CE
∵MN∥BC，PQ∥AB
∴四邊形BMOP是平行四邊形
∴MR=PR（平行四邊形的對角線互相平分）
∴AE=CE
概要：利用共邊三角形性質作共有邊上的高，由相似比相等得證.
證法3
下面的是第三種方法：面積法。
已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O，連接並延長BO，交AC於點E。
求證：AE=CE
證明：
如圖，
∵點D是BC的中點，點F是AB的中點
∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC（綠） = S△AOB（紅）
∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
即S△AOC（綠） = S△BOC（藍）
∴S△AOB（紅） = S△BOC（藍）
∵S△AOE:S△AOB（紅） = OE:OB，S△COE:S△BOC（藍） = OE:OB
∴S△AOE:S△AOB（紅） = S△COE:S△BOC（藍）
∵S△AOB（紅） = S△BOC（藍）
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE
命題得證。
證法4
下面的是第四種方法：中位線法。
已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O，連接並延長BO，交AC於點E。
求證：AE=CE
證明：
如圖，延長OE到點G，使OG=OB。
∵OG=OB
∴點O是BG的中點
又∵點D是BC的中點
∴OD是△BGC的一條中位線
∴AD∥CG（三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半）
∵點O是BG的中點，點F是AB的中點
∴OF是△BGA的一條中位線
∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG
∴四邊形AOCG是平行四邊形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE
命題得證。
證法5：因為ABCO是凹四邊形，根據共邊比例定理，命題得證。
四邊形ABCD（不一定是凸四邊形），設AC,BD相交於E則有BE ：DE=S△ABC ∶S△ADC
證明：∵S△ABC=S△ABE+S△BEC
S△ADC=S△AED+S△CED.
又∵S△ABE∶S△AED=S△BEC∶S△CED=BE∶ED（∵高相等）. ∴S△ABE+S△BEC：S△AED+S△CED=S△ABC∶：S△ADC=BE:ED
此定理是面積法最重要的定理之一。
