泊松方程

泊松程

 △拉普拉斯算符(也就是哈密頓算符▽的平方)，而 f 和 φ 可以是在流形上的實數或複數值的方程。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯運算元通常表示為，因此泊松方程通常寫成在三維直角坐標系，可以寫成

，這個方程就會變成拉普拉斯方程.

泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考screened Poisson equation。現在有很多種數值解。像是relaxation method，不斷迴圈的代數法，就是一個例子。

數學上，泊松方程屬於橢圓型方程（不含時線性方程）。

泊松首先在無引力源的情況下得到泊松方程，（即拉普拉斯方程）；當考慮引力場時，有（f為引力場的質量分佈）。后推廣至電場磁場，以及熱場分佈。該方程通常用格林函數法求解，也可以分離變數法，特徵線法求解。

通常泊松方程表示為

這裡代表拉普拉斯運算元，f為已知函數，而為未知函數。當時，這個方程被稱為拉普拉斯方程。

為了解泊松方程我們需要更多的信息，比如狄利克雷邊界條件:

其中 為有界開集。

這種情況下利用基礎函數構建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基礎函數為:

 其中 為n維歐幾里得空間中單位球面的體積，此時可通過卷積得到 的解。

為了使方程滿足上述邊界條件，我們使用格林函數

 為一個校正函數，它滿足

通常情況下 是依賴於。

通過 可以給出上述邊界條件的解

其中 表示 上的曲面測度。

此方程的解也可通過變分法得到。

在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電場的問題。在國際單位制（SI）中：

此 代表電勢（單位為伏特），是電荷體密度（單位為庫侖/立方米），而 是真空電容率（單位為法拉/米）。

如果空間中有某區域凈帶電粒子為0，則

此方程就變成拉普拉斯方程：

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度：

此處，Q代表總電荷

此泊松方程：的解則為

erf(x)代表的是誤差函數。

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場趨近點電荷電場；正如我們所預期的。