摩擦角

由圖5-3可見：

即：摩擦角的正切值等於靜摩擦因數。

可見，根據摩擦角可以來確定靜摩擦因數(摩擦角可由實

驗測得)。

可以想到：當運動趨勢方向（即主動力的方向）

改變時，及支撐面的全反力的方向也將改變。

當全反力的作用線在空間連續改變時，將描出一空

間錐面，稱為摩擦錐。如圖5-4所示。

可以利用摩擦角（或摩擦錐）來表示物體的平衡

範圍，即

大家知道物體恰好能從粗糙斜面上勻速下滑時斜面的傾角稱為摩擦角。如果測得這個角度就能確定物體與斜面之間的動摩擦因數，即。

不過用這種方法測定摩擦因數有一定的難度，因為物體是否真正作勻速運動，依靠目力是難以辨別的。我們發現在變速運動的情況下也可以引入摩擦角，只要量出角度就能得到摩擦因數，從而可以避免判定速度是否均勻的困難。

摩擦角

課本上有這樣一道題目：在斜面上端A處有一個物體自靜止起滑下，滑至水平面C點停止，若物體與斜面、平面間的摩擦因數均為μ，A與C之間水平距離為S，物體開始下滑的高度，坡面長度為AB，試證滑動摩擦因數。

這個題目的證明並不難，設斜面AB與水平面夾角為α，根據功能關係，物體克服摩擦力所做的功等於物體機械能的減少。即

為摩擦力，分別等於μmgcosα和μmg，代入后可得

∵，上式可以寫作

式中，

∴。

從這個問題引伸出去，我們連接直線Ac，令AC與DC間夾角為θ，則得到了一個新的摩擦角θ(圖2)，這時同樣有

這個結果與假定物體從A勻速沿AC滑動得到的結果是等效的。於是我們設想，如果坡面是由多段折線組成(圖3)，物體從A點出發最終停止在E點，那麼是否也只要將AE聯結起來，量出它與水平面的夾角θ，就能得到摩擦因數呢？

從圖3可以看出，根據功能關係，

同樣能得到

。

因此在變速情況下也存在一種摩擦角，只要量出起點至終點連線與水平面之間夾角就能測定滑動摩擦因數。當然實際上用這個方法測定摩擦因數也有誤差，因為在斜坡的轉角處往往有衝擊，有能量的損失，我們在計算時略去了這個因素。

有趣的是這種變速情況下的摩擦角有它的實用價值。例如對高山滑雪運動來說，知道了滑雪板與雪之間的滑動摩擦因數，也就是知道了摩擦角。運動員只要用一個量角器作觀察儀器向山下觀察，沿摩擦角θ所觀察到的那一點就是他能不加任何動力而到達的終點(圖4中N點)。如果在直線MN的中間被一個高峰阻擋(圖中虛線部分)，那麼他只能停止在峰的左側P點，不可能超越這個山峰抵達N點。說到這裡必然有人會問，如果P點斜坡的坡度很大，其傾角超過了最大靜摩擦角。也就是說滑雪運動員在這一點停不住，那麼他將滑至何處呢？我們可以在P點再畫摩擦角θ，即直線Pq，他將停在q點。以此類推，如果q點還不能停住，則再向下畫θ角。從這裡可以看出，最終停止的點除了受滑動摩擦角制約之外，還受到該處最大靜摩擦角的制約。

如何研究摩擦角

下面研究靜止在粗糙斜面上物體能不能用角度來確定摩擦因數？

圖5中斜面傾角為θ，在A情況下物體處於靜止狀態，沿斜面方向受到二個力，一個是重力的分力mgsinθ，另一個是靜摩擦力f，這時物體靜止著，所以。現在給物體加一個水平推力F，使物體作勻速運動。這時物體受到三個力，滑動摩擦力的大小為μmgcosθ，方向是F，與mgsinθ合力的反方向。可以看到物體將沿斜線BD緩緩斜向下方移動，量出BD與水平線之間夾角α，由圖5可以看出

，

即和α角就能測得動摩因數μ。用這個方法測μ比改變斜面傾角使物體勻速滑下測μ要簡單一些。但是水平推力F掌握得不好有可能給測量帶來誤差。

沿圓弧運動物體的摩擦角

將上述兩種方法結合起來考慮可以產生一種新的思路。我們發現使坡面上物體做變速圓弧運動，能更方便、更準確地測定動摩擦因數。

圖6所示在傾角為θ的坡面上用細線l系住一質量為m的物體(斜面傾角應大於最大靜摩擦角)。用釘子將線的另一端固定在斜坡的上邊MN中央。將物體從最高點A靜止起釋放，物體將沿斜面滑下，在線的拉力作用下作圓弧運動。開始速率增大，然後速率減小，最後停止在B點。這時細線掃過的夾角為φ可以直接測得。從圖上可以看出，物體通過的弧長

(1)

從B點向斜坡上邊MN作垂線BD，令，從B點向MNQP平面作垂線BE，則DE為物體下落的高度h。

應有 (2)

(3)

根據功能關係 (4)

而物體受到的滑動摩擦力

(5)

將(1)(2)(3)(5)式代入(4)式得

可以看出，θ一定時φ角不同，得到的μ值不同。圖7是sinφ和φ

角的增大而減小。這說明物體下滑的φ角越大測得的摩擦因數μ越小。若時物體停止，且斜面傾角的話，那麼

這種方法中同樣存在著角很大時物體可能不能夠在坡面上停住，從而產生倒滑。這時在計算θ時要將倒滑的角與前面的φ角相加進行計算。為了避免倒滑帶來的測量麻煩，可以減小斜面的傾角θ，使θ較接近於最大靜摩擦角，那麼就能避免倒滑。

比較三種摩擦角

比較各種測定動摩擦因數的摩擦角方法可以看出，圓弧運動中的摩擦角最容易操作，而且有很好的可重複性。它是一種不用測力計測定摩擦因數的方法。