多重指標

多重指標

多重指標是數學中一種方便的表示法,它將指標中的單個整數推廣為多個整數,它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算,也便於操作冪級數

定義運算


一個n -維 多重指標是一個由整數構成的向量
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設 為多重指標,定義:
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應用最廣的是非負的多重指標,此時可以定義:
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(假設)
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設 定義
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其中
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命題:若i,k是非負的n維多重指標,且 則
按定義直接操作即可證明。

應用範圍


多元微積分

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子:
多元冪級數:有兩個以上變元的冪級數通常寫成
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其中 是n-維多元指標而,以簡化冗長的表法
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多項展開
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萊布尼茨公式:設 存在夠高階的導數,則
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泰勒展開式:對一多元解析函數 f,當
充分小時有下述展開
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其實這不外是定義,多元指標在此提供了簡練的表示法。
對於存在夠高階導數的函數,我們也有帶余項的泰勒展開式:
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偏微分運算元

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一個形式上的 n 變元 -階 偏微分運算元能以多重指標寫成
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分部積分:對有界定義域 上的緊支集光滑函數,我們有
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此公式用以定義分佈與弱導數。