曲線擬合

用連續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關係的一種數據處理方法。用解析表達式逼近離散數據的一種方法。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測得到量x與y的一組數據對，其中各是彼此不同的。人們希望用一類與數據的背景材料規律相適應的解析表達式，來反映量x與y之間的依賴關係，即在一定意義下"最佳"地逼近或擬合已知數據。常稱作擬合模型，式中是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度的標準，最常用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差的加權平方和達到最小，此時所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方法，對於線性模型一般通 過建立和求解方程組來確定參數，從而求得擬合曲線。至於非線性模型，則要藉助求解非線性方程組或用最優化方法求得所需參數才能得到擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。

曲線擬合：貝塞爾曲線與路徑轉化時的誤差。值越大，誤差越大；值越小，越精確。

指數函數(exponential function)的標準式形式為

(12.29)

對式（12.29）兩邊取對數，得

(12.30)

時，Y隨X增大而增大；時，Y隨X增大而減少。見圖12.4(a)、(b)。當以和X繪製的散點圖呈直線趨勢時，可考慮採用指數函數來描述Y與X間的非線性關係，和b分別為截距和斜率。

更一般的指數函數

(12.31)

式中k為一常量，往往未知, 應用時可試用不同的值。

對數函數（lograrithmic function）的標準式形式為

()(12.32)

時，Y隨X增大而增大，先快后慢；時，Y隨X增大而減少，先快后慢，見圖12.4(c)、(d)。當以Y和繪製的散點圖呈直線趨勢時，可考慮採用對數函數描述Y與X之間的非線性關係，式中的b和a分別為斜率和截距。

更一般的對數函數

(12.33)

式中k為一常量，往往未知。

(a)(b)(c)(d)

冪函數（power function）的標準式形式為

(12.34)

式中時，Y隨X增大而增大；時，Y隨X增大而減少。

對式（12.34）兩邊取對數，得

(12.35)

所以，當以和繪製的散點圖呈直線趨勢時，可考慮採用冪函數來描述Y和X間的非線性關係，和b分別是截距和斜率。

更一般的冪函數

(12.36)

式中k為一常量，往往未知。

（一）繪製散點圖，選擇合適的曲線類型

一般根據資料性質結合專業知識便可確定資料的曲線類型，不能確

定時，可在方格坐標紙上繪製散點圖，根據散點的分佈，選擇接近的、合適的曲線類型。

（二）進行變數變換

(12.37)

使變換后的兩個變數呈直線關係。

（三）按最小二乘法原理求線性方程和方差分析

（四）將直線化方程轉換為關於原變數X、Y的函數表達式