拉普拉斯矩陣

拉普拉斯矩陣

拉普拉斯矩陣(Laplacian matrix) 也叫做導納矩陣、基爾霍夫矩陣或離散拉普拉斯運算元,主要應用在圖論中,作為一個圖的矩陣表示。

定義


拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
給定一個有n個頂點的圖G,它的拉普拉斯矩陣 定義為:
L=D-A
其中D為圖的度矩陣,A為圖的鄰接矩陣。度矩陣在有向圖中,只需要考慮出度或者入度中的一個。經過計算可以得
1、若i =j,則
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
為頂點 的度。
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
2、若i≠ j,但頂點 和頂點 相鄰,則
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
3、其它情況
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
也可以將這三種值通過除以進行標準化。

示例


度矩陣鄰接矩陣拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
度矩陣
度矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣
拉普拉斯矩陣

性質


1.拉普拉斯矩陣是半正定矩陣;
2.特徵值中0出現的次數就是圖連通區域的個數;
3.最小特徵值是0,因為拉普拉斯矩陣每一行的和均為0;
4.最小非零特徵值是圖的代數連通度。